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北海市2025届高三第四次模拟考试
数学试卷
（考试用时120分钟，满分150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（）
A. B. C. D.
2.若复数，则的虚部为（）
A. B. C. D.
3.桂林象鼻山景区有4个主要景点：象鼻山、水月洞、普贤塔、爱情岛．若游客可以选择游览其中的3个景点，且必须包含景点象鼻山，则不同的游览顺序有（）
A.12种 B.14种 C.18种 D.20种
4.DeepSeek是一款人工智能助手，其用户满意度评分随时间（单位：月）的变化满足对数型函数模型：，其中是常数．若DeepSeek在经过3个月后评分增长到70，则满意度评分为（）
A.60 B.61 C.62 D.63
5.已知抛物线的顶点在原点，开口向左，且其焦点到准线的距离为6，抛物线上有一点，到焦点的距离为5，则点的纵坐标为（）
A. B. C. D.
6.在中，内角所对的边分别为．已知的面积为，则（）
A. B. C. D.
7.已知一个正四棱锥的底面边长为，内切球的体积为，则这个正四棱锥的体积为（）
A. B. C. D.16
8.已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与在第一象限交于点，若在以为直径的圆上，且的中点在的渐近线上，则的离心率为（）
A. B. C.2 D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.某班级有60%的学生报名参加了数学竞赛，40%的学生报名参加了物理竞赛．报名参加数学竞赛的学生中，有30%同时也报名参加了物理竞赛．从该班级中随机抽取一名学生，记事件为“该学生报名参加数学竞赛”，事件为“该学生报名参加物理竞赛”．则以下说法正确的是（）
A.事件和事件独立事件 B.
C. D.
10.已知圆，圆，直线，下列结论正确的是（）
A.若直线与圆相切，则
B.若，则圆上到直线的距离等于的点恰有3个
C若圆与圆恰有三条公切线，则
D.若为圆上的点，当时，过点作圆的两条切线，切点分别为，则可能为
11.已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，当时，．则下列结论正确的是（）
A. B.在区间上单调递增
C.图象关于直线对称 D.函数有5个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知为单位向量，，则_____．
13.密位制是一种用于测量角度的单位系统，尤其在军事领域中被广泛使用.例如：狙击手在调整射击角度时，可以使用密位制来精确计算目标的距离和角度．密位制的基本原理是将一个圆周分为6000等份，每一份称为1密位．将函数的图象向左平移个单位，所得图象关于轴对称，则最小值的密位数为_____.
14.若函数有两个极值点，则的取值范围是_____．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知数列满足，且．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）求的通项公式；
（3）设，数列的前项和为，证明：．
16.在四棱锥中，底面为菱形，平面．动点在线段上满足，动点在线段上满足，其中．
（1）当时，证明：平面；
（2）是否存在，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
17.2025年春节期间，国产电影《哪吒之魔童闹海》凭借其震撼特效、生动的情节与深刻的思想，票房一路攀升，成为全球动画电影票房冠军．截至2025年3月9日全球票房达到148.86亿元，下图为某平台向200名观众征集该电影的评分结果的频率分布直方图．
（1）求的值；
（2）估计这200名观众评分的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）；
（3）从评分在和的观众中按照分层抽样的方法随机抽取7人进行问卷调查，再从这7人中随机抽取3人进行访谈，求被抽到的3人中评分在的人数的分布列及期望．
18.已知函数．
（1）设，若的导函数在上单调递减，求实数的取值范围；
（2）若，证明：当时，函数图象上任意一点处的切线总在的图象的上方；
（3）若不等式对任意恒成立，求可取的最大整