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第六章回流问题流动－传热耦合计算的数值方法

前章讲述了引入流动项后，相对纯粹的导热扩散方程，对流扩散方程离散求解的特点，侧重讨论了对流项一阶导数的离散方法。但是并没有涉及至关重要的流动物理量——速度的求解方法，也未论及流动和传热之间的耦合。本章将针对回流问题讨论此问题。不同于至少有一个空间坐标是单通性质的边界层流动问题，回流问题的空间坐标均为双通性质，其控制方程类型，对稳态问题为椭圆型，对非稳态问题则是以时间坐标作为行进坐标的抛物型。实际工程中的流动和传热问题，回流问题更为普遍，其中不可压流体又居多数，因此，我们把讨论范围限定于不可压流体的回流问题。

6.1不可压缩流体流－热耦合问题数值计算概述

流动—传热耦合问题，其控制方程是由连续、动量和能量方程在内的一组耦合的方程组成，不能单独求解。即使物性都是常数，对流项的存在，动量方程是非线性的；若速度与温度相关，如自然对流问题，则能量方程也是非线性的。控制方程的耦合性和非线性，决定了流热耦合问题的求解必须使用迭代，而且包含多种性质的迭代，如各个关联求解量间的迭代，解非线性问题的线化求解迭代，解线性代数方程组的迭代等。在使用迭代方法求解具体的流热耦合问题时，要注意不同迭代的意义。

动量和能量方程中的一阶导数对流项的离散，会遇到前章讲到的诸多问题，必须予以特殊的考虑，使其有必要的精度，又能保证解的稳定性，不致使解失去物理的真实性。

求解流热耦合问题的关键是流场的求解。求解流场，可以用原始方程中的速度、压力作为基本变量，这称为原始变量法；也可用涡函数、流函数作为变量，这称为非原始变量的涡流函数法。本章将分别介绍这两种方法，但重点放在原始变量法。

对离散方程的代数求解方法，可以分为耦合（或称联立）求解法和顺序（或称分离）求解法两类。前者又包括所有变量的代数方程组全场联立求解、部分变量的代数方程组全场联立求解以及局部区域所有变量联立求解等多种。但耦合求解法对计算机资源要求较高，编程相对困难，发展缓慢。而顺序求解法则是先不考虑各变量的耦合，一个方程针对一个主要变量，而把其它变量暂且作为已知，一个一个独立求解。完成一轮计算后，再按改进变量的计算公式进行更新；返回至起始计算作迭代，再更新，直到迭代收敛，所有变量值都能满足全部的方程。此法相对简单，可以统一编程，对计算机要求也较低，是当前工程计算的主要方法。本章将针对以速度、压力为变数的原始变量法和以涡、流函数为变量的非原始变量法的离散方程，分别介绍顺序求解法的压力修正方法和涡流函数法。

6.2原始变量法顺序求解流场所遇困难及解决途径

6.2.1简化条件下原始变量法求解流场的控制方程

为便于说明用原始变量法顺序求解流场所遇到的问题，先考察一个不计质量力影响的二维不可压缩流动问题。此时，流动可以脱开能量方程先行解出，控制方程为

（6-1a）

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该方程组有三个待求变量u,v,p，但只有关于速度u,v的两个输运方程，压力p则是以一阶导数的形式作为源项出现在速度的方程之中，它没有自身独立的输运方程。控制方程中压力的这些特征，使流场的求解面临一些需要解决的新问题。

6.2.2常规网格下离散压力导数可能导出不合理的解

所谓常规网格，是指控制方程中所有求解变量u,v,p均定义在一套网格节点上。如果在这套系统下求解流场，假设网格均匀，压力分段线性分布，对于一维问题，动量方程的压力导数项??p?x在节点P的控制容积积分后，所得的在界面上的压力差值为

这就意味着，在节点P求解速度u的动量离散方程，与P节点自身的压力无关，而相

关的是被P点分开的两侧邻节点压力。如果流场是一个如图6－1所示的锯齿形压力分布，则对任意网格节点P，都有pE=pW，从而使pw?pe=0，动量离散方程永远不会感受到有任何压力的作用，一个波形压力场被等同于一个均匀的压力场，显然这种结果极不合理。如果实际流场是图6－2所示的一个光滑的压力场，在迭代求解过程的某个层次上，被某种

误差迭加上一个锯齿形的压力扰动，则由于离散动量方程无法识别这种不合理的迭加分量，它将一直保留到迭代收敛并作为正确的压力场输出。被迭加的棋盘形压力波动幅度可以千变万化，就会得到任意多个不合理的压力解。

图6－1锯齿形压力场示意图图6－2常规网格系统难以查

出不合理的迭加量

同样分析用于二维情况，和x方向的动量只受pW?pE影响一样，y方向的动量也只受

pS?pN的影响，节点