第四章扩散方程的数值方法
从本章起，开始讨论离散数值方法在求解热物理问题中的应用。首先研究单纯的导热问
题或曰单纯的扩散问题，是热物理问题通用形式的控制方程在去掉其对流项后的简化形式。
对非稳态问题，方程是抛物型的；对稳态问题，方程是椭圆型的或常微分方程（一维问题）。
首先研究这类问题，一是因为离散求解过程相对简单，容易处理，所使用的方法和一些相关
概念是进一步研究的基础；二是实际工程中，除了纯粹导热或扩散问题之外的不少物理过程，
其控制方程与导热方程是同一类型，如多孔介质中渗流、二维位势流、充分发展的管流及电
磁场理论模型等，导热问题的数值方法可以用于这些问题的求解。
控制容积积分法离散，是热物理问题用得最多的数值方法。从本章起的应用篇，主要采
用该方法。按照由浅入深原则，本章从一维导热讲起，进而到多维导热，最后讲述扩散问题
数值方法在求解管道内充分发展的对流换热中的应用。
4.1一维导热[1,2,3]
4.1.1．一维导热问题通用形式的控制方程
为简单起见，设导热介质为不可压缩（ρ常数）、常比热（c=常数）。在导热截面积
可变下，引入面积函数因子AA(x)，一维非稳态导热的通用控制方程为
?T1???T?
cAxS
ρtAxx?λ()x?=+(4-1)
?()????
稳态情况下，通用控制方程简化成
1???T?
AxS
Axx?λ()x?+0(4-2)
()????
其中S为源项，λ是导热系数。面积函数因子A(x)对不同情况和不同坐标，有不同表示形
式。对直角坐标，等截面下A(x)1，变截面下A(x)A(x)；对圆柱坐标A(x)r，其
中r为圆柱半径；对球坐标，A(x)r2，其中r为球半径。
4.1.2．控制容积积分法离散
将(4-1)两端乘以A(x)，在t至t+Δt时间间隔内对图3－2所示的控制体P作积分
et+Δtet+Δtet+Δt
?T???T?
cAxdtdxAxdxdt=+AxSdxdt(4-3)
ρ∫∫()?t∫∫?x??λ()?x??∫∫()
wtwtwt
能积分的先积出来，有
et+Δttt+Δt???T???T??et+Δt
cAxT?TdxAx=?Axdt+AxSdxdt
ρ()()??λ()??λ()??()
∫∫∫∫
??x???x?
wt?e