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第四章扩散方程的数值方法
从本章起，开始讨论离散数值方法在求解热物理问题中的应用。首先研究单纯的导热问题或曰单纯的扩散问题，是热物理问题通用形式的控制方程在去掉其对流项后的简化形式。对非稳态问题，方程是抛物型的；对稳态问题，方程是椭圆型的或常微分方程（一维问题）。首先研究这类问题，一是因为离散求解过程相对简单，容易处理，所使用的方法和一些相关概念是进一步研究的基础；二是实际工程中，除了纯粹导热或扩散问题之外的不少物理过程，其控制方程与导热方程是同一类型，如多孔介质中渗流、二维位势流、充分发展的管流及电磁场理论模型等，导热问题的数值方法可以用于这些问题的求解。
控制容积积分法离散，是热物理问题用得最多的数值方法。从本章起的应用篇，主要采用该方法。按照由浅入深原则，本章从一维导热讲起，进而到多维导热，最后讲述扩散问题数值方法在求解管道内充分发展的对流换热中的应用。
4.1一维导热[1,2,3]
4.1.1．一维导热问题通用形式的控制方程
为简单起见，设导热介质为不可压缩(ρ=常数）、常比热（c=常数）。在导热截面积可变下，引入面积函数因子A=A(x)，一维非稳态导热的通用控制方程为
(4-1)稳态情况下，通用控制方程简化成
(4-2)
其中S为源项，λ是导热系数。面积函数因子A(x)对不同情况和不同坐标，有不同表示形式。对直角坐标，等截面下A(x)=1，变截面下A(x)=A(x)；对圆柱坐标A(x)=r，其中r为圆柱半径；对球坐标，A(x)=r2，其中r为球半径。
4.1.2．控制容积积分法离散
将(4-1)两端乘以A(x)，在t至t+Δt时间间隔内对图3－2所示的控制体P作积分
能积分的先积出来，有
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将源项线化处理为S=SC+SPT；对上式的非定常项和源项的空间积分，取函数沿空间为阶梯分布；扩散项中的空间导数按函数沿空间为线性分布而作中心差分展开；而时间积分采用取积分上、下限的加权平均，其权因子取为f,(0≤f≤1)，这样，前章所说的积分函数沿时间分布的三种型线均可包括在内，积分形式为
(4-4)
为书写方便，去掉时间上角标t+Δt，而上角标t改写为0。于是，上述积分式可以化成
引入以下系数表达式
,(4-6)
aP=faE+faW+a-fSPAP(Δx)P
积分离散式最后简化为
(4-7)
(4-7)
当权因子f=0,1,1/2时，分别对应显式、全隐式和C-N三种不同的离散格式，为
显式aPTP=aET+aWT+b(4-8a)
全隐式aPTP=aETE+aWTW+b(4-9a)
aP=aE+aW+a-SPAP(Δx)P,b=aT+SCAP(Δx)P(4-9b)
C-N格式(4-10a)
以上各格式中的系数aE,aW,a表达式均为(4-6)所示。非稳态热物理问题不同离散格式中
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用的最多的是如(4-9)那样的全隐格式。
对于稳态一维导热，控制容积积分没有时间区间的积分，相当以上推演中a=0，且
f=1，于是离散格式为
aPTP=aETE+aWTW+b(4-11a)
aP=aE+aW-SPAP(Δx)P,b=SCAP(Δx)P(4-11b