《线性代数》期末试卷
专业班级姓名学号
复核
题号——四五六七八九十成绩
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得分
登分
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说明：本试卷共—大题，共100分；答题要：按要答题_________
考生须知：
1.姓名、学号、系、专业、年级、班级必须写在密封线内指定位置。
2.答案必须用蓝、黑色钢笔或圆珠笔写在试卷上，字迹要清晰，卷面要整洁，写在草稿
纸上的一律无效。
一、n阶行列式计算：（共20分每小题10分）
1+x1…1
11+X…1
⑴凡=
1111+X
1+X]11...11
11+%21...11
111+...11
⑵A
111,,,1+X?-l1
111...11+〃
其中皿丰0=1,2厂?,〃。
二、假设A为n阶方阵D=^g(21922,23?,2n)是n阶对角阵其中21922,23…儿
两两不相等且AD=DA证明:A必为对角阵。(10分)
三、设￡\,点3是复数域上三维线性空间T的一组基了是T的一个线性变换它
‘56-3、
在这组基下的矩阵为力=-101,即\￡］点点）=（￡萨2点以。求：丁的所
U2-J
有的特征值与特征向量。（12分）
四、讨论参数a,月的宜解下列方程组。何时无解？何时有唯一的解？并请写出解;
何时有无穷多的解？并请写出解的一般形式。
OCXy+%2+x31二4
X]+ySx2+X31二3（18分）
X]+2/3x^+x3z二4
五、设九方分别为实数域上m阶、n阶方阵试证明:
A0}
1.如果力切都相似于对角矩阵贝unD也相似于一个对角矩阵。
I。B)
(A0)
2.设八d相似于一个对角矩阵即存在一个可逆矩阵S,使得
I。B)
.(A0)
SS二力他不如…儿)o
对S进行分块令$=1,其中S是mx(m+n)阶矩阵￡是nx(m+n)阶矩
阵。试证明：S的每一列都是力的特征向量$2的每一列是3的特征向量并且
rcmk(SJ=m,rank(S2)=n。
(A0)
3.d相似于一个对角矩阵当且仅当力切都相似于对角阵。供20分)
I0B]
六、设R为实数集Rn为实数域R上全体n维向量的集合。