第十章热物理中的有限元法基础
有限元法是数值求解微分方程的另外一类基本方法。由于它对处理任意复杂的边界
条件有很强的适应能力，这种方法在流动和热物理问题的数值计算中，近年来受到普遍的重
视，得到越来越广泛的应用。本章将对这种重要的数值方法的基础理论和在热物理中的应用
作简单介绍，以使读者对这一方法的使用思路有初步的了解，为今后深入学习和开展相关的
研究工作奠定基础。限于篇幅，在介绍有关的数学理论时，原则上我们不作详细推演而直接
给出结论，需要深究的读者可以参考专门的著作[1-5]。
10.1有限元方法概要
有限元法基于数学上经典的变分原理和加权余量法，采用“分块逼近”的思想，将计算
区域剖分为互不重迭的称为“单元”的子区域，在每个单元体上选取若干个称之为“节点”
的函数插值点，把单元中的求解函数用一种规范化的插值函数的线性组合来近似，其线性组
合的系数正是求解函数在节点上的函数值或导数值。进而通过对单元体的积分获得单元体上
的有限元方程，再对所有单元累加，以获得总体解域上的有限元方程，通过求解总体有限元
的离散代数方程，而获得所有节点上的函数值。
这种“分块逼近”，再通过累加构成整个解域的离散代数方程的求解思想，起源于上世
纪40年代，并随电子计算机的出现和发展得以迅速发展。1965年之前，主要是固体力学工
作者用来计算复杂的结构力学问题，发展了许多适应性很强的通用有限元程序，所解方程基
本上是线性的偏微分方程。1965年之后，该方法逐步推广到处理非线性微分方程，在流体
力学和热物理问题的数值计算中得到了广泛的应用。现今，有限元方法已成为流动和热物理
问题进行理论研究和解决实际工程问题的一个重要的数值计算手段。
有限元法与有限差分和有限容积方法一样，它们都是区域性的离散方法。其共性都是将
连续区域上定义的微分方程求解问题，变成在有限个离散子区域或离散点上定义，把求解微
分方程的问题变成求解离散节点上的代数方程问题。也就是说，它们都具有离散化、代数化
的数值方法本质。且可通过选择不同的差分离散格式，或在积分控制容积内选择不同的插值
函数型线，以得到不同形成和离散精度的代数方程。这意味着三种离散方法在构成离散方程
时都有自己的灵活性。但是，它们之间也有差异。主要区别在于：
（1）有限差分法和有限容积法是点近似，用网格点上的值来近似表达连续函数，近似
解一般不能保证解的光滑性。有限元法是分段近似（分片或分块），在单元内，近似解是连
续解析的，而单元之间解是连续的。因此，有限元得到的解是充分光滑的近似解，在单元内
导数存在，单元间的边界上其解满足相容性条件。
（2）有限差分法收敛性意义为，当步长趋近于零时，解域内任意节点的差分近似解趋
近微分方程在该点的准确解。而有限元方法的收敛性是积分意义下的收敛，即单元积分区域
趋于零时，单元的加权积分值趋近于零。有限容积法收敛性与有限元法一致，但有限容积法
的权函数始终是1。
（3）有限差分法和有限容积法对于复杂的计算区域适应性差，处理边界条件常会遭遇
一定的困难。虽然近年来发展的网格生成技术可以克服这一弱点，但是却带来编程的复杂性
和计算工作量的极大增加。有限元法对于区域的剖分没有特别的限制，这对处理具有复杂边
界的实际问题既方便，又灵活，还可依照实际问题的物理特点，合理安排单元网格的疏密。
有限元法处理未知的自由边界和不同介质的交界面也比较容易。
（4）有限容积法和有限元法虽然都是用积分方法进行离散，并都要选择积分区域内的
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函数分布型线，但是有限容积法所选择的型线函数一旦积分完成后而不再具有任何意义。它
的每个积分子区域只对应一个离散节点，该点定义的函数值代表积分控制体内函数的平均
值。所积分的函数是物理问题对应的守恒型控制方程，各项物理意义明确，要求积分出来的
离散方程在每个控制体内满足物理上的守恒原理。但有限元法中，型线一旦选定，就始终被
认定为与求解量相关，它在建立离散方程和处理求解结果时都要应用。有限容积法控制方程
积分之前需乘上一个权函数，要求积分区域上控制方程余量加权积分后的平均值为零，其控
制方程形式不一定是守恒型的。有限元法的一个单元总会设置多个节点。
（5）有限元法求解步骤几乎是统一的，因此易于编制通用程序。有限容积法次之，有
限差分法则相对欠缺。但有限差分法在构造离散格式上更为灵活，易于构造新的格式。从计
算工作量看，同一物理问题有限元的工