第五章

大数定律与中心极限定理概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科。随机现象的规律性只有在相同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出来。也就是说，要从随机现象中去寻求必然的法则，应该研究大量随机现象。*研究大量的随机现象，常常采用极限形式，由此导致对极限定理进行研究.极限定理的内容很广泛，其中最重要的有两种:与大数定律中心极限定理*字母使用频率生产过程中的废品率大量抛掷硬币正面出现频率大量的随机现象中平均结果的稳定性大数定律的客观背景……§1.大数定律*依概率收敛设{Xn}为随机变量序列，a为常数，若任给?0,使得则称{Xn}依概率收敛于a.可记为*意思是:当a时,Xn落在内的概率越来越大.*几个常见的大数定律定理1（契比雪夫定理的特殊情况）设X1,X2,…相互独立，且具有相同的数学期望和方差：EXi=，D(Xi)=，i=1,2,…,则对任给0,*定理2（伯努利大数定律）设nA是n重伯努利试验中事件A发生的次数，p是事件A发生的概率，则对任给的ε0，有：或*伯努利大数定律表明，当重复试验次数n充分大时，事件A发生的频率nA/n与事件A的概率p有较大偏差的概率很小。伯努利大数定律提供了通过试验来确定事件概率的方法。*定理3（辛钦大数定律）设随机变量序列X1,X2,…独立同分布，具有有限的数学期EXi=μ,i=1,2,…，则对任给ε0，*大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质之一：平均结果的稳定性它是随机现象统计规律性的具体表现.大数定律在理论和实际中都有广泛的应用.*§2.中心极限定理中心极限定理的客观背景在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生的总影响.例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素的影响.*实例:考察射击命中点与靶心距离的偏差.这种偏差是大量微小的偶然因素造成的微小误差的总和,这些因素包括:瞄准误差、测量误差、子弹制造过程方面(如外形、重量等)的误差以及射击时武器的振动、气象因素(如风速、风向、能见度、温度等)的作用,所有这些不同因素所引起的微小误差是相互独立的,并且它们中每一个对总和产生的影响不大.*其概率分布情况如何呢？问题:某个随机变量是由大量相互独立且均匀小的随机变量相加而成的,*自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人们发现，正态分布在自然界中极为常见.观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大.则这种量一般都服从或近似服从正态分布.*由于无穷个随机变量之和可能趋于∞，故我们不研究n个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量的分布函数的极限.*可以证明，满足一定的条件，上述极限分布是标准正态分布.--------中心极限定理*在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做中心极限定理.我们只讨论几种简单情形.下面给出的独立同分布随机变量序列的中心极限定理，也称列维一林德伯格（Levy－Lindberg）定理.*定理1（独立同分布的中心极限定理）设X1,X2,…是独立同分布的随机变量序列，且E(Xi)=，D(Xi)=，i=1,2,…，则*当n很大时，可以求出近似分布:在一般情况下，我们很难求出Yn=X1+X2+…+Xn分布的确切形式。它表明，当n充分大时，*定理3（二项分布的正态近似）(棣莫佛－拉普拉斯定理）设随机变量服从参数n,p(0p1)的二项分布，则对任意x，有定理2(P122)定理3是定理1的特殊情况。*定理表明，当n很大时，二项变量的分布近似服从正态分布：*例1根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布。现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的.求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率。解:设第i只元件的寿命为Xi,i=1,2,…,16由题给条件知，诸Xi独立，E(Xi)=100,D(Xi)=10000*16只元件的寿命的总和为由中心极限定理：