第三章多维随机变量及其分布§3.1二维随机变量到现在为止，我们只讨论了一维随机变量及其分布。但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述。1
在射箭时,命中点的位置是由一对坐标(X,Y)来确定的。飞机的重心在空中的位置是由三个r.v(X，Y，Z）来确定的。2
一般地，我们称n个随机变量的整体X=(X1,X2,…，Xn)为n维随机变量或随机向量。以下重点讨论二维随机变量。请注意与一维情形的对照。3
设?是随机试验E的样本空间,若定义则称(X,Y)为二维随机向量或二维随机变量。4
设(X,Y)是二维随机向量,对于任意实数x,y二元函数：定义称为二维随机变量(X,Y)的分布函数。(x,y)xy(X,Y)5
基本性质F(x,y)是x,y的不减函数。6
F(x,y)关于x,y均右连续。7
yxD8
二维离散型随机变量设二维离散型随机变量(X,Y)所有可能取到的值为：9
XYx1x2…xi…y1p11p21…pi1…y2p12p22…pi2…yjp1jp2j…pij…分布律可用如下表格表示：10
11
例1X在1,2,3,4中等可能取一个值，Y在1~X中等可能取一个整数值，试求(X,Y)的分布律。解：{X=i,Y=j}中i=1,2,3,4j取不大于i的整数。列表如下：12
XY123412030040001/81/81/41/121/121/121/161/161/161/1613
二维连续型随机变量对于二维连续型随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)如果存在非负可积函数f(x,y)，对于任意x,y有：则称(X,Y)是二维连续型随机变量，f(x,y)称为二维随机变量(X,Y)的概率密度或随机变量X和Y的联合概率密度。14
(x,y)(X,Y)几何意义xyzz=f(x,y)15
基本性质Gxy(X,Y)16
若f(x,y)在(x,y)处连续，则有：以上关于二维随机变量的讨论，可以容易地推广到n(n2)维随机变量的情况。17
例2设二维连续型随机变量(X,Y)具有概率密度为：求常数k;求F(x,y);求P{XY}18
求常数k;解：xy19
求F(x,y);xy(x,y)(x,y)20
求P{XY}xyx=yx=yx=021
§3.2边缘分布(X,Y)的分布已知X的分布FX(x)=?Y的分布FY(y)=?称FX(x)，FY(y)为(X，Y)的边缘分布函数。F(x,y)22
F(x,y)已知同理：23
二维离散型随机变量对(X,Y)已知:问：对X对Y24
25
例1试求§3.1例1中X,Y的边缘分布律。解：XY123411/41/81/121/16201/81/121/163001/121/1640001/16X1/41/41/41/4Y25/4813/487/481/1626
二维连续型随机变量对(X,Y)已知f(x,y)问：对XfX(x)=?对YfY(x)=?27
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例2设(X,Y)的概率密度为：求(1)c的值；xy1y=x0（2）两个边缘密度。29
解：(1)=5c/24=1,c=24/5xy1y=x030
解:(2)xy1y=x031
解:(2)xy1y=x032
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下面我们介绍两个常见的二维分布。注：在求连续型随机变量的边缘密度时，往往要求联合密度在某区域上的积分。在计算积分时应特别注意积分限。34
设G是平面上的有界区域，其面积为A.若二维随机变量（X,Y）具有概率密度则称（X,Y）在G上服从均匀分布.二维均匀分布35
若二维随机变量（X,Y）具有概率密度：其中均为常数,且二维正态分布36
则称（X,Y）服从参数为