10.2离散型随机变量及其分布列、均值、方差
五年高考
考点离散型随机变量及其分布列、均值与方差
1.(2020课标Ⅲ理,3,5分,易)在一组样本数据中,1,2,3,4出现的频率分别为p1,p2,p3,p4,且i=14pi=1,则下面四种情形中,对应样本的标准差最大的一组是(
A.p1=p4=0.1,p2=p3=0.4
B.p1=p4=0.4,p2=p3=0.1
C.p1=p4=0.2,p2=p3=0.3
D.p1=p4=0.3,p2=p3=0.2
答案B
2.(2019浙江,7,4分,中)设0a1,随机变量X的分布列是
X
0
a
1
P
1
1
1
则当a在(0,1)内增大时,()
A.D(X)增大
B.D(X)减小
C.D(X)先增大后减小
D.D(X)先减小后增大
答案D
3.(2021浙江,15,6分,中)袋中有4个红球,m个黄球,n个绿球.现从中任取两个球,记取出的红球数为ξ,若取出的两个球都是红球的概率为16,一红一黄的概率为13,则m-n=,E(ξ)=
答案1;8
4.(2022全国甲理,19,12分,中)甲、乙两个学校进行体育比赛,比赛共设三个项目,每个项目胜方得10分,负方得0分,没有平局.三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.
(1)求甲学校获得冠军的概率;
(2)用X表示乙学校的总得分,求X的分布列与期望.
解析(1)记“甲学校在第i个项目获胜”为事件Ai(i=1,2,3),“甲学校获得冠军”为事件E.
则P(E)=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)
∴甲学校获得冠军的概率为35
(2)记“乙学校在第j个项目获胜”为事件Bj(j=1,2,3).
X的所有可能取值为0,10,20,30.
则P(X=0)=P(B1B2B
P(X=10)=P(B1B2B3)+P(B1B2B3
=12
P(X=20)=P(B1B2B3)+P(B1B2B3)+P(B1B2
=12
P(X=30)=P(B1B2B3)=12
∴X的分布列为
X
0
10
20
30
P
4
11
17
3
∴E(X)=0×425+10×
5.(2021新高考Ⅰ,18,12分,中)某学校组织“一带一路”知识竞赛,有A,B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答,若回答错误则该同学比赛结束;若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答,无论回答正确与否,该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分,否则得0分;B类问题中的每个问题回答正确得80分,否则得0分.
已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
(1)若小明先回答A类问题,记X为小明的累计得分,求X的分布列;
(2)为使累计得分的期望最大,小明应选择先回答哪类问题?并说明理由.
解析(1)由题易知X的所有可能取值为0,20,100,
P(X=0)=1-0.8=0.2,
P(X=20)=0.8×(1-0.6)=0.32,
P(X=100)=0.8×0.6=0.48,
所以X的分布列为
X
0
20
100
P
0.2
0.32
0.48
(2)由(1)可知E(X)=0×0.2+20×0.32+100×0.48=54.4.
假设小明先回答B类问题,其累计得分为Y,则Y的所有可能取值为0,80,100,
P(Y=0)=1-0.6=0.4,
P(Y=80)=0.6×(1-0.8)=0.12,
P(Y=100)=0.6×0.8=0.48,
所以Y的分布列为
Y
0
80
100
P
0.4
0.12
0.48
所以E(Y)=0×0.4+80×0.12+100×0.48=57.6,
所以E(Y)E(X),
所以小明应选择先回答B类问题.
6.(2022北京,18,13分,中)在校运动会上,只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛,比赛成绩达到9.50m以上(含9.50m)的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主,收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩,并整理得到如下数据(单位:m):
甲:9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25;
乙:9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23;
丙:9.85,9.65,9.20,9.16.
假设用频率估计概率,且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.
(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率;
(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数,估计X的数学期望EX;
(3)在校运动