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4.4数学归纳法
第四章数列
4．4数学归纳法
例题
1．用数学归纳法证明：如果是一个公差为d的等差数列，那么对任何都成立．
练习
2．下列各题在应用数学归纳法证明的过程中，有没有错误？如果有错误，错在哪里？
（1）求证：当时，．
证明：假设当时，等式成立，即．
则当时，左边=右边．
所以当时，等式也成立．
由此得出，对任何，等式都成立．
（2）用数学归纳法证明等差数列的前n项和公式是．
证明，①当时，左边=，右边，等式成立．
②假设当时，等式成立，即．则当时，
，
．
上面两式相加并除以2，可得
，
即当时，等式也成立．
由①②可知，等差数列的前n项和公式是
3．用数学归纳法证明，首项为，公比为q的等比数列的通项公式是，前n项和公式是．
例题
4．用数学归纳法证明.
5．已知数列满足，，试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
6．设x为正实数，n为大于1的正整数，若数列1，，，…，，…的前n项和为，试比较与n的大小，并用数学归纳法证明你的结论．
练习
7．用数学归纳法证明：
8．若数列，，，…，，…的前n项和为，计算，，，由此推测计算的公式，并用数学归纳法进行证明．
9．观察下列两个数列，：
数列：1，4，9，16，25，36，49，64，81，…；
数列：2，4，8，16，32，64，128，256，512，…．
猜想从第几项起小于，并证明你的结论．
10．猜想满足，的数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．
习题4．4
一．选择题
11．用数学归纳法证明下列等式：．要验证当时等式成立，其左边的式子应为（）
A． B． C． D．
二．解答题
12．用数学归纳法证明：
（1）；
（2）；
（3）．
13．已知数列满足，．计算，，，由此猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明．
14．已知数列，，，…，，…的前n项和为．计算，，，，由此猜想的表达式，并用数学归纳法证明．
15．用数学归纳法证明：．
16．已知数列，的通项公式分别为，，其中，试推断对哪些正整数n成立，证明你的结论．
17．已知数列满足，．试用数学归纳法证明并比较与的大小关系．
18．证明：能够被6整除．
19．一本旧教材上有一个关于正整数n的恒等式？
其中问号处由于年代久远，只能看出它是关于n的二次三项式，具体的系数已经看不清楚了．请你猜想这个恒等式的形式，并用数学归纳法证明．
20．已知命题：设，为非负实数，，为正实数，若，则．请将该命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．
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参考答案：
1．证明见解析
【分析】利用数学归纳法的证明方法与步骤即可证明.
【详解】（1）当时，左边，右边，①式成立．
（2）假设当时，①式成立，即，
根据等差数列的定义，有，
于是，
即当时，①式也成立，由（1）（2）可知，①式对任何都成立．
2．（1）有错误，理由见解析；（2）有错误，理由详见解析.
【分析】根据数学归纳法分为两步，①证明当时，结论成立，②假设当时，结论成立，当时，应用归纳假设，证明时，命题也成立，根据数学归纳法的步骤判断过程的错误之处.
【详解】（1）有错误，错误在于没有证明第（1）步，即没有证明时等式成立；
（2）有错误，错误在于证明时，没有应用时的假设，而是应用了倒序相加法，这不符合数学归纳法的证明过程.
3．证明见解析
【分析】根据数学归纳法的证明方法，即可作出证明.
【详解】由题意，等比数列的首项为，公比为，
①当时，，显然满足；
②假设时，成立，
则当时，成立，
由①②可知，对于任意，都有成立.
证明：前项和公式，
③当时，成立；
④假设时，成立，
则当时，成立，
由③④可知，对于任意，都有成立.
4．见解析
【分析】根据数学归纳法证明的步骤进行证明即可.
【详解】证明：①当时，左边，右边，等式成立；
②假设当时等式成立，
即.
那么，
即当时等式也成立.
由①②知，等式对任何都成立.
【点睛】本题考查了利用数学归纳法证明有关数列的命题，属于基础题.
5．，证明见解析
【分析】利用递推关系式得出数列的前项，猜想，再由数学归纳法证明即可.
【详解】由，可得．
由，可得．
同理可得，，．
归纳上述结果，猜想
下面用数学归纳法证明这个猜想．
（1）当时，③式左边，右边，猜想成立．
（2）假设当时，③式成立，即，
那么，即当时，猜想也成立．
由（1）（2）可知，猜想对任何都成立．
6．，且时，，证明见解析
【分析】计算和时的情况猜想：时，，利用数学归纳法证明得到答案.
【详解】由已知可得．
当时，，由，可得；
当时，，由，可得．
由此，我们猜想，当，且时，．