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6.2排列与组合
第六章计数原理
6.2排列与组合
6.2.1排列
例1某省中学生足球赛预选赛每组有6支队，每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛1场，那么每组共进行多少场比赛？
分析：每组任意2支队之间进行的1场比赛，可以看作是从该组6支队中选取2支，按“主队、客队”的顺序排成的一个排列．
解：可以先从这6支队中选1支为主队，然后从剩下的5支队中选1支为客队．按分步乘法计数原理，每组进行的比赛场数为
．
例2（1）一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜，共有多少种不同的取法？
（2）学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，共有多少种不同的选法？
分析：3名同学每人从5盘不同的菜中取1盘菜，可看作是从这5盘菜中任取3盘，放在3个位置（给3名同学）的一个排列；而3名同学每人从食堂窗口的5种菜中选1种，每人都有5种选法，不能看成一个排列．
解：（1）可以先从这5盘菜中取1盘给同学甲，然后从剩下的4盘菜中取1盘给同学乙，最后从剩下的3盘菜中取1盘给同学丙．按分步乘法计数原理，不同的取法种数为
．
（2）可以先让同学甲从5种菜中选1种，有5种选法；再让同学乙从5种菜中选1种，也有5种选法；最后让同学丙从5种菜中选1种，同样有5种选法．按分步乘法计数原理，不同的选法种数为
．
练习
1．写出：（1）用0~4这5个自然数组成的没有重复数字的全部两位数；
（2）从a，b，c，d中取出2个字母的所有排列.
2．一位老师要给4个班轮流做讲座，每个班讲1场，有多少种轮流次序？
3．（1）5名运动员中有3名参加乒乓球团体比赛，如果前三场单打比赛每名运动员各出场1次，那么前三场单打比赛的顺序有几种？
（2）乒乓球比赛规定，团体比赛采取5场单打3胜制，每支球队由3名运动员参赛，前三场各出场1次，其中第1，2个出场的运动员分别还将参加第4，5场比赛.写出甲、乙、丙三人参加比赛可能的全部顺序.
6.2.2排列数
例3计算：（1）；（2）；（3）；（4）．
解：根据排列数公式，可得
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
例4用0～9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
分析：在0～9这10个数字中，因为0不能在百位上，而其他9个数字可以在任意数位上，因此0是一个特殊的元素．一般地，我们可以从特殊元素的位置入手来考虑问题．
解法1：由于三位数的百位上的数字不能是0，所以可以分两百位十位个位步完成：第1步，确定百位上的数字，可以从1～9这9个数字中取出1个，有种取法；第2步，确定十位和个位上的数字，可以从剩下的9个数字中取出2个，有种取法（图6.2-5）．根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为
．
图6.2-5
解法2：如图6.2-6，符合条件的三位数可以分成三类：第1类，每一位数字都不是0的三位数，可以从1～9这9个数字中取出3个，有种取法；第2类，个位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和十位，有种取法；第3类，十位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和个位，有种取法．
图6.2-6
根据分类加法计数原理，所求三位数的个数为
．
解法3：从0～9这10个数字中选取3个的排列数为，其中0在百位上的排列数为，它们的差就是用这10个数组成的没有重复数字的三位数的个数，即所求三位数的个数为
．
练习
4．先计算，然后用计算工具检验
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
5．求证：（1）；
（2）.
6．一个火车站有8股岔道，如果每股道只能停放1列火车，现要停放4列不同的火车，共有多少种不同的停放方法？
6.2.3组合
例5平面内有A，B，C，D共4个点．
（1）以其中2个点为端点的有向线段共有多少条？
（2）以其中2个点为端点的线段共有多少条？
分析：（1）确定一条有向线段，不仅要确定两个端点，还要考虑它们的顺序，是排列问题；（2）确定一条线段，只需确定两个端点，而不需考虑它布的顺序，是组合问题．
解：（1）一条有向线段的两个端点要分起点和终点．以平面内4个点中的2个为端点的有向线段的条数，就是从4个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段条数为
．
这12条有向线段分别数
，，，，，，，，，，，．
（2）由于不考虑两个端点的顺序，因此将（1）中端点相向、方向不同的2条有向线段作为一条线段，就是以平面内4个点中的2个点为端点的线段的条数，共有如下6条：
，，，，，．
练习
7．甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛.
（1）列出所有各场比赛的双方；
（2）列出所有冠、亚军的可能情况.
8．已知平面