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4.1数列的概念
第四章数列
4．1数列的概念
例1根据下列数列的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象．
（1）；
（2）．
解：（1）当通项公式中的，2，3，4，5时，数列的前5项依次为1，3，6，10，15．
图象如图4.1-2（1）所示．
（1）（2）
图4.1-2
（2）当通项公式中的，2，3，4，5时，数列的前5项依次为1，0，-1，0，1．
图象如图4.1-2（2）所示．
例2根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式：
（1）1，，，，…；
（2）2，0，2，0，…．
解：（1）这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为．
（2）这个数列前4项的奇数项是2，偶数项是0，所以它的一个通项公式为．
练习
1．写出下列数列的前10项，并作出它们的图象：
(1)所有正偶数的平方按从小到大的顺序排列成的数列；
(2)所有正整数的倒数按从大到小的顺序排列成的数列；
(3)当自变量x依次取1，2，3，…时，函数的值构成的数列；
(4)数列的通项公式为
2．根据数列的通项公式填表：
n
1
2
…
5
…
…
…
n
…
…
153
…
273
…
3．除数函数()的函数值等于n的正因数的个数，例如，.写出数列，，…，，…的前10项.
4．根据下列数列的前5项，写出数列的一个通项公式：
（1）1，，，，，…；
（2）1，，，，，….
例3如果数列的通项公式为，那么120是不是这个数列的项？如果是，是第几项？
分析：要判断120是不是数列中的项，就是要回答是否存在正整数n，使得．也就是判断上述关于n的方程是否有正整数解：
解：令，
解这个关于n的方程，得（舍去），或．
所以，120是数列的项，是第10项．
例4图4.1-3中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形．在图中4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数列的一个通项公式．
（1）（2）（3）（4）
图4.1-3
在图4.1-3（1）（2）（3）（4）中，着色三角形的个数依次为1，3，9，27，
即所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1．
因此，这个数列的一个通项公式是．
例5已知数列的首项为，递推公式为，写出这个数列的前5项．
解：由题意可知
，
，
，
，
．
练习
5．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式，并在横线上和括号中分别填上第项的图形和点数．
(1)
(2)
(3)
6．根据下列条件，写出数列的前5项：
（1），；
（2），.
7．已知数列满足，，写出它的前5项，并猜想它的通项公式.
8．已知数列的前项和公式为，求的通项公式.
习题4．1
9．写出下列数列的前项，并绘出它们的图像：
（1）素数按从小到大的顺序排列成的数列；
（2）欧拉函数的函数值按自变量从小到大的顺序排列成的数列.
10．根据下列条件，写出数列的前5项：
（1）；
（2）；
（3），；
（4），.
11．观察下列数列的特点，用适当的数填空，并写出数列的一个通项公式：
（1）（????），，，（????），，（????），；
（2），，（????），，，（????），；
（3），，（????），，，（????），；
（4），，（????），，，（????）.
12．已知数列的第1项是1，第2项是2，以后各项由给出.
（1）写出这个数列的前5项；
（2）利用数列，通过公式构造一个新的数列，试写出数列的前5项.
13．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数，第三行的1，5，12，22称为五边形数.请你分别写出三角形数?正方形数和五边形数所构成的数列的第5项和第6项.
14．假设某银行的活期存款年利率为某人存10万元后，既不加进存款也不取款，每年到期利息连同本金自动转存，如果不考虑利息税及利率的变化，用表示第年到期时的存款余额，求、、及.
15．已知函数，设数列的通项公式为.
（1）求证.
（2）是递增数列还是递减数列？为什么？