3．2函数的基本性质
第三章函数的概念与性质
3.2函数的基本性质
例1根据定义，研究函数（）的单调性.
分析：根据函数单调性的定义，需要考察当时，还是.根据实数大小关系的基本事实，只要考察与0的大小关系.
解：函数（）的定义域是R.，，且，则
.
由，得.所以
①当时，.
于是，
即.
这时，是增函数.
②当时，.
于是，
即.
这时，是减函数.
例2物理学中的玻意耳定律（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大.试对此用函数的单调性证明.
分析：根据题意，只要证明函数（）是减函数即可.
证明：，，且，则.
由，，得；
由，得.
又，于是，
即.
所以，根据函数单调性的定义，函数，是减函数.也就是说，当体积V减小时，压强p将增大.
例3根据定义证明函数在区间上单调递增.
证明：，，且，有
.
由，，得，.
所以，.
又由，得.
于是，
即.
所以，函数在区间上单调递增.
例4“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m）？
解：画出函数的图象如图显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.
由二次函数的知识，对于函数，我们有：
当时，函数有最大值.
于是，烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29m.
例5已知函数（），求函数的最大值和最小值.
分析：由函数（）的图象，如图可知，函数在区间上单调递减.所以，函数在区间的两个端点上分别取得最大值和最小值.
解：，，且，则
.
由，得，，
于是，
即.
所以，函数在区间上单调递减
因此，函在区间的两个端点上分别取得最大值与最小值.在时取得最大值，最大值是2；在时取得最小值，最小值是0.4.
例6判断下列函数的奇偶性：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
解：（1）函数的定义域为R.
因为，都有，且，
所以，函数为偶函数
（2）函数的定义域为R.
因为，都有，且，
所以，函数为奇函数.
（3）函数的定义域为.
因为，都有，且，
所以，函数为奇函数.
（4）函数的定义域为.
因为，都有，且，
所以，函数为偶函数.
3.2.1单调性与最大（小）值
练习
1．请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系.
2．根据定义证明函数是增函数.
3．证明函数在区间上单调递增.
4．画出反比例函数的图象.
（1）这个函数的定义域I是什么？
（2）它在定义域Ⅰ上的单调性是怎样的？证明你的结论.
练习
5．整个上午（8:00～12:00）天气越来越暖，中午时分（12:00～13:00）一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多.暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山（18:00）才又开始转凉.画出这天8:0～20:00期间气温作为时间函数的一个可能的图象（示意图），并说出所画函数的单调区间.
6．设函数的定义域为.如果在区间上单调递减，在区间上单调递增，画出的一个大致的图象，从图象上可以发现是函数的一个______.
7．已知函数，求函数在区间上的最大值和最小值.
3.2.2奇偶性
练习
8．已知是偶函数,是奇函数,试将下图补充完整.
??
9．判断下列函数的奇偶性：
（1）；????????
（2）．
10．(1)从偶函数的定义出发,证明函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称;
(2)从奇函数的定义出发,证明函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称.
习题3.2
复习巩固
11．根据下图说出函数的单调区间及在每一单调区间上的单调性.
12．画出下列函数的图象，并根据图象说出函数的单调区间及在每一单调区间上的单调性.
（1）；
（2）.
13．证明：
（1）函数是减函数；
（2）函数在上单调递增；
（3）函数在上单调递增.
14．某汽车租赁公司的月收益y（单位：元）与每辆车的月租金x（单位：元）间的关系为，那么，每辆车的月租金为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
15．判断下列函数的奇偶性：
（1）；
（2）.
综合运用
16．一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高，画出自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象（示意图）.
17．已知函数，.
（1）求、的单调区间；
（2）求、的最小值.
18．（1）根据函数单调性的定义证明函数在区间上单调递增.
（2）讨论函数在区间上的单调性.
（3）讨论函数在区间上的单调性.
19．设函数的定义域为I，区间，记.证明：
（1）函数在区间D上单调递增的充要条件是：，都有；