3．1函数的概念及其表示
第三章函数的概念与性质
3.1函数的概念及其表示
例1函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的，它所反映的两个量之间的对应关系，可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律.例如，正比例函数（）可以用来刻画匀速运动中路程与时间的关系?一定密度的物体的质量与体积的关系?圆的周长与半径的关系等.
试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式来描述.
解：把看成二次函数，那么它的定义域是R，值域是.对应关系f把R中的任意一个数x，对应到B中唯一确定的数.
如果对x的取值范围作出限制，例如，那么可以构建如下情境：
长方形的周长为20，设一边长为x，面积为y，那么.
其中，x的取值范围是，y的取值范围是.对应关系f把每一个长方形的边长x，对应到唯一确定的面积.
例2已知函数.
（1）求函数的定义域；
（2）求，的值.
（3）当时，求，的值.
分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定.如果只给出解析式，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合.
解：（1）使根式有意义的实数x的集合是，使分式有意义的实数x的集合是.所以，这个函数的定义域是，
即.
（2）将-3与代入解析式，有
；
.
（3）因为，所以，有意义.
；
.
例3下列函数中哪个与函数y=x是同一个函数？
（1）；（2）；
（3）；（4）.
解：（1）（），它与函数（）虽然对应关系相同，但是定义域不相同，所以这个函数与函数（）不是同一个函数.
（2）（），它与函数（）不仅对应关系相同，而且定义域也相同，所以这个函数与函数（）是同一个函数.
（3），它与函数（）的定义域都是实数集R，但是当时，它的对应关系与函数（）不相同.所以这个函数与函数（）不是同一个函数.
（4）（}，它与函数（）的对应关系相同但定义域不相同.所以这个函数与函数（）不是同一个函数.
例4某种笔记本的单价是5元，买x（）个笔记本需要y元.试用函数的三种表示法表示函数.
解：这个函数的定义域是数集.
用解析法可将函数表示为
，.
用列表法可将函数表示为
用图象法可将函数表示为图
例5画出函数的图象.
解：由绝对值的概念，我们有.
所以，函数的图象如图所示.
例6给定函数，，，
（1）在同一直角坐标系中画出函数，的图象；
（2），用表示，中的较大者，记为.
例如，当时，.
请分别用图象法和解析法表示函数.
解：（1）在同一直角坐标系中画出函数，的图象（图）.
（2）由图中函数取值的情况，结合函数的定义，可得函数M（x）的图象（图）.
由，得.
解得，或.
结合图3.1-5，得出函数的解析式为.
例7表是某校高一（1）班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表.
请你对这三位同学在高一学年的数学学习情况做一个分析.
解：从表中可以知道每位同学在每次测试中的成绩，但不太容易分析每位同学的成绩变化情况.如果将每位同学的“成绩”与“测试序号”之间的函数关系分别用图象（均为6个离散的点）表示出来，如图，那么就能直观地看到每位同学成绩变化的情况，这对我们的分析很有帮助.
从图3.1-6可以看到，王伟同学的数学学习成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀.张城同学的数学学习成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大.赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平，但表示他成绩变化的图象呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高.
例8依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）.2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额?税率和速算扣除数确定，计算公式为
个税税额=应纳税所得额×税率-速算扣除数.①
应纳税所得额的计算公式为
应纳税所得额=综合所得收入额-基本减除费用-专项扣除-专项附加扣除-依法确定的其他扣除.②
其中，“基本减除费用”（免征额）为每年60000元.税率与速算扣除数见表.
（1）设全年应纳税所得额为t，应缴纳个税税额为y，求，并画出图象；
（2）小王全年综合所得收入额为189600元，假定缴纳或者住房租金?赡养老人的基本养老保险?基本医疗保险?失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%专项扣除?专项附加扣除1%，9%，专项附加扣除是52800元，依法确定其他扣除之外，由国务院决定以扣是4560元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？
分析：根据个税产生办法，可按下列步骤计算应缴纳个税税额：
第一步，根据②计算出应纳税所得额t；
第二步，由t的值并根据表得出相应的税率与速算扣除数
第三步，根据①计算出个税税额y的值.
由于不同应纳税所得额t对应不同的税率与速算扣除数，所以y是t的分段函数.
解：（1）根据表3.1-5