第31页，共59页，星期日，2025年，2月5日三、多元函数的连续性一元函数连续性回顾：二元函数的连续性第32页，共59页，星期日，2025年，2月5日如果函数f(x,y)在D的每一点都连续，注意：二元函数间断的情形比一元函数要复杂的多因为当f(x,y)无定义，所以在整个圆周f(x,y)间断。则称函数f(x,y)在D上连续，或者称f(x,y)是D上的连续函数。第33页，共59页，星期日，2025年，2月5日例8讨论函数在(0,0)处的连续性．解取故函数在(0,0)处连续.第34页，共59页，星期日，2025年，2月5日例9讨论函数在(0,0)的连续性．解取其值随k的不同而变化，极限不存在．故函数在(0,0)处不连续．第35页，共59页，星期日，2025年，2月5日定义3如果函数f(P)在D的每一点都连续，则称函数f(P)在D上连续，或者称f(P)是D上的连续函数。第36页，共59页，星期日，2025年，2月5日（2）多元初等函数：由常数及不同自变量表达的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算所构成的可用一个式子表示的多元函数叫多元初等函数（3）一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．关于多元函数连续性的几点说明（1）一切一元基本初等函数，作为一个二元或二元以上的多元函数时，在其定义域内都是连续的。不同自变量表达的一元基本初等函数第37页，共59页，星期日，2025年，2月5日（4）利用多元函数的连续性可以计算在其连续点处的极限。例７解第38页，共59页，星期日，2025年，2月5日闭区域上连续函数的性质在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上必定有界，且能取得它的最大值和最小值，即（一）有界性及最大值和最小值定理（2）至少存在两点（1）存在正数M，使得对于任意的点P?D，均有第39页，共59页，星期日，2025年，2月5日（二）介值定理在有界闭区域D上连续的多元函数f(P)，必取得介于最小值m和最大值M之间的任何值。即对任意的c,mcM,至少存在一点P?D,使得：（三）一致连续性定理在有界闭区域D上连续的多元函数f(P)，必定在D上一致连续。第40页，共59页，星期日，2025年，2月5日多元函数极限的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质（注意趋近方式的任意性）四、小结多元函数的定义第41页，共59页，星期日，2025年，2月5日思考题第42页，共59页，星期日，2025年，2月5日第1页，共59页，星期日，2025年，2月5日（1）邻域一、多元函数的概念第2页，共59页，星期日，2025年，2月5日（2）区域例如，即为开集．内点：设E是平面上的一个点集，P是平面上的一个点如果存在点P的某一邻域则称Ｐ为Ｅ的内点．Ｅ的内点属于Ｅ．如果点集Ｅ的点都是内点，则称Ｅ为开集．第3页，共59页，星期日，2025年，2月5日边界点：外点：如果存在U(P),使得则称点P为E的外点连通集：连通的开集称为开区域，简称区域．第4页，共59页，星期日，2025年，2月5日例如，例如，第5页，共59页，星期日，2025年，2月5日有界闭区域；无界开区域．例如，第6页，共59页，星期日，2025年，2月5日（3）聚点I：内点一定是聚点；说明：如果对于任意的?0,点P的去心邻域内总有E中的点，则称点P是点集E的聚点II：在内，总有E的无穷多个点；III：点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．例如,(0,0)是聚点但不属于E．第7页，共59页，星期日，2025年，2月5日E中任何一点都是E的边界点，又如,E中的任何一点都是E的聚点。思考题：边界点是否一定是聚点？反之，聚点是否一定是边界点？第8页，共59页，星期日，2025年，2月5日（4）n维空间当n=3时，(x,y,z)表示空间中的一个点或向量表示空间中的全体点或全体向量。因此，我们也称为中的一个点或一个n维向量。第9页，共59页，星期日，2025年，2月5日因此，我们也称为中的一个点或