答案第=page11页,共=sectionpages22页
10.2事件的相互独立性
10.2事件的相互独立性
例1一个袋子中有标号分别为1,2,3,4的4个球,除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次.设事件“第一次摸出球的标号小于3”,事件“第二次摸出球的标号小于3”,那么事件A与事件B是否相互独立?
解:因为样本空间,
,
,
所以,.
此时,因此,事件A与事件B不独立.
例2甲、乙两名射击运动员进行射击比赛,甲的中靶概率为0.8,乙的中靶概率为0.9,求下列事件的概率:
(1)两人都中靶;
(2)恰好有一人中靶;
(3)两人都脱靶;
(4)至少有一人中靶.
分析:设“甲中靶”,“乙中靶”.从要求的概率可知,需要先分别求A,B的对立事件,的概率,并利用A,B,,构建相应的事件.
解:设“甲中靶”,“乙中靶”,则“甲脱靶”,“乙脱靶”.由于两个人射击的结果互不影响,所以A与B相互独立,A与,与B,与都相互独立.
由已知可得,,,,.
(1)“两人都中靶”,由事件独立性的定义,得
.
(2)“恰好有一人中靶”,且与互斥,根据概率的加法公式和事件独立性定义,得
.
(3)事件“两人都脱靶”,所以
.
(4)方法1:事件“至少有一人中靶”,且AB,与两两互斥,所以
.
方法2:由于事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶”,根据对立事件的性质,得事件“至少有一人中靶”的概率为
.
例3甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,已知甲每轮猜对的概率为,乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中,甲和乙猜对与否互不影响,各轮结果也互不影响.求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率.
分析:两轮活动猜对3个成语,相当于事件“甲猜对1个,乙猜对2个”、事件“甲猜对2个,乙猜对1个”的和事件发生.
解:设,分别表示甲两轮猜对1个,2个成语的事件,,分别表示乙两轮猜对1个,2个成语的事件.根据独立性假定,得
,.
,.
设“两轮活动‘星队’猜对3个成语”,则,且与互斥,与,与分别相互独立,所以
.
因此,“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是.
练习
1.分别抛掷两枚质地均匀的硬币,设事件“第1枚正面朝上”,事件“第2枚正面朝上”,事件“2枚硬币朝上的面相同”,中哪两个相互独立?
2.设样本空间含有等可能的样本点,且,请验证A,B,C三个事件两两独立,但.
3.天气预报元旦假期甲地的降雨概率是0.2,乙地的降雨概率是0.3,假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响,计算在这段时间内:
(1)甲、乙两地都降雨的概率;
(2)甲、乙两地都不降雨的概率;
(3)至少一个地方降雨的概率.
4.证明必然事件和不可能事件与任意事件相互独立.
习题10.2
复习巩固
5.掷两枚质地均匀的骰子,设“第一枚出现奇数点”,“第二枚出现偶数点”,则与的关系为(????).
A.互斥 B.互为对立
C.相互独立 D.相等
6.假设,,且,相互独立,则______;______.
7.若,,证明:事件A,B相互独立与A,B互斥不能同时成立.
综合运用
8.甲、乙两人独立地破译一份密码,已知各人能破译的概率分别是,求;
(1)两人都成功破译的概率;
(2)密码被成功破译的概率.
9.如图,一个正八面体,八个面分别标以数字1到8,任意抛掷一次这个正八面体,观察它与地面接触的面上的数字,得到样本空间为.构造适当的事件A,B,C,使成立,但不满足A,B,C两两独立.
拓广探索
10.分析如下三个随机试验及指定的随机事件,并解答下面的问题.
:抛掷两枚质地均匀的硬币;事件“两枚都正面朝上”.
:向一个目标射击两次,每次命中目标的概率为0.6;事件“命中两次目标”.
:从包含2个红球、3个黄球的袋子中依次任意摸出两球;事件“两次都摸到红球”
(1)用适当的符号表示试验的可能结果,分别写出各试验的样本空间;
(2)指出这三个试验的共同特征和区别;
(3)分别求A,B,C的概率.
变式练习题
11.假定生男孩和生女孩是等可能的,令{一个家庭中既有男孩又有女孩},{一个家庭中最多有一个女孩}.对下述两种情形,讨论与的独立性.
(1)家庭中有两个小孩;
(2)家庭中有三个小孩.
12.小宁某天乘火车从重庆到上海去办事,若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9,假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求:
(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率;
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率.
13.本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租用时间不超过两小时免费,超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算).有甲、