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6.3.1平面向量基本定理

6.3.1平面向量基本定理

例1如图6.3-4，，不共线，且，用，表示．

解：因为，

所以

．

例2如图6.3-5，是的中线，，用向量方法证明是直角三角形．

分析：由平面向量基本定理可知，任一向量都可由同一个基底表示，本题可取为基底，用它表示，．证明，可得，从而证得是直角三角形．

证明：如图6.3-6，设，，则，，于是.

.

因为，

所以.

因为，，

所以.

因此.

于是是直角三角形.

练习

1．如图，，，是的三条中线，，．用表示，，，．

2．如图，平行四边形的两条对角线相交于点O，，，点E，F分别是，的中点，G是的三等分点．

（1）用表示，，；

（2）能由（1）得出，的关系吗？

3．如图，在中，，点E，F分别是，的中点．设，．

（1）用表，．

（2）如果，，，有什么关系？用向量方法证明你的结论．

变式练习题

4．在?ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝__________.

5．若向量不共线，且（其中），求证：共线．

6．如图,在△ABC中,点M是BC的中点,点N在边AC上,且AN=2NC,AM与BN相交于点P,求AP∶PM.

7．如图所示，在△ABO中，，，AD与BC相交于点M，设＝a，＝b.试用a和b表示向量.

8．.如图，在△OAB中，，AD与BC交于点M，设在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点，设＝p，＝q，求证：＋＝1.