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1.2空间向量基本定理
第一章空间向量与立体几何
1.2空间向量基本定理
例1如图1.2-2，M是四面体的棱的中点，点N在线段上，点P在线段上，且，，用向量，，表示．
图1.2-2
分析：，，是三个不共面的向量，它们构成空间的一个基底{，，}，可以用基底{，，}表示出来．
解：
．
练习
1．已知向量是空间的一个基底，从，，中选哪一个向量，一定可以与向量，构成空间的另一个基底？
2．已知O，A，B，C为空间的四个点，且向量，，不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C是否共面？
3．如图，已知平行六面体，点G是侧面的中心，且，，．
（1）是否构成空间的一个基底？
（2）如果构成空间的一个基底，那么用它表示下列向量：，，，．
例2如图1.2-3，在平行六面体中，，，，，，，M，N分别为，的中点．求证．
图1.2-3
分析：要证，只需证明．由已知，{，，}可构成空间的一个基底．把和分别用基底表示，然后计算即可．
证明：设，，，这三个向量不共面，{，，}构成空间的一个基底，我们用它们表示，，则，
，
所以
所以．
例3如图1.2-4，正方体的棱长为1，E，F，G分别为，，的中点．
图1.2-4
（1）求证：．
（2）求与所成角的余弦值．
分析：（1）要证明，只需证明与共线．设，，，则｛，，｝构成空间的一个单位正交基底，把和分别用基向量表示，作相应的运算证明它们共线即可．（2）要求与所成角的余弦值，只需求，所成角的余弦值即可．
（1）证明：设，，，则｛，，｝构成空间的一个单位正交基底．
所以
．
所以．
所以．
（2）解：因为，
，
所以
．
所以与所成角的余弦值为．
练习
4．已知四面体OABC，，．求证：．
5．如图，在平行六面体中，，，，．求与所成角的余弦值．
6．如图，已知正方体，和相交于点O，连接AO，求证．
习题1.2
复习巩固
7．如果向量，与任何向量都不能构成空间的一个基底，那么，间应有什么关系？
8．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（????）．
A．、、 B．、、
C．、、 D．、、
9．已知四面体OABC，M，N分别是棱OA，BC的中点，且，，，用，，表示向量．
10．如图，在三棱柱中，已知，，，点M，N分别是，的中点，试用基底表示向量，.
综合运用
11．如图，在长方体中，M是AC与BD的交点．若，，，求的长．
12．如图，平行六面体的底面是菱形，且，，求证：平面．
拓广探索
13．如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为，BD的中点，点G在CD上，且．
（1）求证：；
（2）求EF与CG所成角的余弦值．
14．已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，求证：这个四面体相对的棱两两垂直.