当a→0，q→∞，2qa→常数M偶极流利用三角函数恒等式、级数展开，化简第62页，共132页，星期日，2025年，2月5日a→0：偶极流第63页，共132页，星期日，2025年，2月5日（3）等强源流（用极坐标→直角坐标）xyoaarr1r2P(x,y)模型：两个源流叠加（两个同性电荷）QQθ1θθ2势函数流函数第64页，共132页，星期日，2025年，2月5日Ψ=Cφ=C源流和源流的叠加第65页，共132页，星期日，2025年，2月5日（4）源环流——螺旋流（用极坐标）模型：源流与环流叠加（水泵蜗壳内的扩压流动）势函数流函数θ等势线流线流线和等势线是相互正交的对数螺旋线第66页，共132页，星期日，2025年，2月5日源流和环流的叠加（流线与等势线为相互正交的对数螺旋线族）离心泵的叶片形状第67页，共132页，星期日，2025年，2月5日§3.6伯努利方程及其应用3.6.1理想流体元流的伯努利方程为了推导方便，将理想流体运动微分方程式写成该方程为非线性偏微分方程，只有特定条件下才能求得其解。这些特定条件为：①恒定流动，有第68页，共132页，星期日，2025年，2月5日②沿流线积分，将流线上的dx、dy、dz分别乘理想流体运动微分方程的三个分式，然后相加得对于恒定流动，流线与迹线重合，所以沿流线下列关系式成立，即③质量力只有重力，则第69页，共132页，星期日，2025年，2月5日根据以上积分条件，有④不可压缩均质流体，ρ=常数。上式可写为积分得对同一流线上的任意两点1、2，有第70页，共132页，星期日，2025年，2月5日上两式为重力场中理想流体沿流线的伯努利积分式，称为伯努利方程。由于元流的过流断面面积无限小，所以沿流线的伯努利方程也适用于元流。理想流体元流（流线）伯努利方程的应用条件：1、理想流体；2、恒定流动；3、质量力只有重力；4、沿元流（流线）积分；5、不可压缩流体。第71页，共132页，星期日，2025年，2月5日：单位重量流体对某一基准面具有的位置势能，又称位置高度或位置水头；3.6.2理想流体元流伯努利方程的意义：单位重量流体具有的压强势能，又称测压管高度或压强水头；：单位重量流体具有的总势能，又称测压管水头；：单位重量流体具有的动能，又称流速高度或速度水头；第72页，共132页，星期日，2025年，2月5日：单位重量流体具有的机械能，又称总水头。解释伯努利方程的物理意义和几何意义！第73页，共132页，星期日，2025年，2月5日3.6.3理想流体元流伯努利方程的应用说明毕托管的测速原理。如图，现欲测定均匀管流过流断面上A点的流速u，可在A点所在断面设置测压管，测出该点的压强p，称为静压。另在A点同一流线下游取相距很近的O点，在该点放置一根两端开口的L型细管，使一端管口正对来流方向，另一端垂直向上，此管称为测速管。测出的压强称为总压或全压。第74页，共132页，星期日，2025年，2月5日以AO所在流线为基准，忽略水头损失，对A、O两点应用理想流体元流伯努利方程则A点的流速为考虑到粘性存在等因素的影响，引入修正系数c，则将测速管和测压管组合成测量点流速的仪器称为毕托管。第75页，共132页，星期日，2025年，2月5日水（ρ）-水银（ρ’）c——流速系数（1~1.04）气（ρ）-液（ρ’）第76页，共132页，星期日，2025年，2月5日3.6.4实际流体元流的伯努利方程实际流体具有粘性，在流动过程中有一部分机械能将不可逆地转化为热能耗散。根据能量守恒原理，实际流体元流的伯努利方程为式中：为实际流体元流单位重量流体从1-1过流断面流到2-2过流断面的机械能损失，称为元流的水头损失。第77页，共132页，星期日，2025年，2月5日3.6.5总流的伯努利方程图示为实际流体恒定总流，过流断面1-1、2-2为渐变流断面，面积为A1、A2。在总流中任取元流，其过流断面的微元面积、位置