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1.4空间向量的应用
第一章空间向量与立体几何
1.4空间向量的应用
1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系
例1如图1.4-7在长方体中，，，，M是的中点．以D为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
图1.4-7
（1）求平面当的法向量；
（2）求平面的法向量．
分析：（1）平面与y轴垂直，其法向量可以直接写出；（2）平面可以看成由，，中的两个向量所确定，运用法向量与它们的垂直关系，可转化为数量积运算求得法向量．
解：（1）因为y轴垂直于平面，所以是平面的一个法向量．
（2）因为，，，M是的中点，所以M，C，的坐标分别为，，．因此
，．
设是平面的法向量，则
，．
所以
所以
取，则，．于是是平面的一个法向量．
练习
1．空间中点、直线和平面的向量表示
1．判断下列命题是否正确，正确的在括号内打“√”，错误的打“×”
（1）零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量；()
（2）若是直线l的方向向量，则也是直线l的方向向量；()
（3）在空间直角坐标系中，是坐标平面Oxy的一个法向量．()
2．在平行六面体中，，，，O是与的交点．以为空间的一个基底，求直线OA的一个方向向量．
3．在长方体中，，，．以D为原点，以为空间的一个单位正交基底，建立空间直角坐标系Oxyz，求平面的一个法向量．
2．空间中直线、平面的平行
例2证明“平面与平面平行的判定定理”：同一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．
已知：如图1.4-11，，，，，．
求证：．
分析：设平面的法向量为，直线a，b的方向向量分别为，，则由已知条件可得，由此可以证明与平面内的任意一个向量垂直，即也是的法向量．
证明：如图1.4-11，取平面的法向量，直线a，b的方向向量，．
因为，，所以，．
因为，，，
所以对任意点，存在x，，使得．
从而．
所以，向量也是平面的法向量．故．
倒3如图1.4-12，在长方体中，，，．线段上是否存在点P，使得平面？
图1.4-12
分析：根据条件建立适当的空间直角坐标系，那么问题中涉及的点、向量，，以及平面的法向量等都可以用坐标表示，如果点P存在，那么就有，由此通过向量的坐标运算可得结果．
解：以D为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图1.4-12所示的空间直角坐标系．因为A，C，的坐标分别为，，，所以
，．
设是平面的法向量，则，，即
所以
取，则，．所以，是平面的一个法向量．
由，C，的坐标分别为，，，得，．设点P满足，则，所以．
令，得，解得，这样的点P存在．
所以，当，即P为的中点时，平面．
练习
4．用向量方法证明“直线与平面平行的判定定理”：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．
5．如图，在四面体ABCD中，E是的中点．直线AD上是否存在点F，使得？
6．如图，在正方体中，E，F分别是面，面的中心．求证：平面．
3．空间中直线、平面的垂直
例4如图1.4-14，在平行六面体中，，，求证：直线平面．
图1.4-14
分析：根据条件，可以{，，}为基底，并用基向量表示和平面，再通过向量运算证明是平面的法向量即可．
证明：设，，，则{，，}为空间的一个基底，且
，，．
因为，，所以
，．
在平面上，取，为基向量，则对于平面上任意一点P，存在唯一的有序实数对，使得
．
所以，
．
所以是平面的法向量．
所以平面．
例5证明“平面与平面垂直的判定定理”：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．
图1.4-15
已知：如图1.4-15，，，
求证：．
证明：取直线l的方向向量，平面的法向量．
因为，所以是平面的法向量．
因为，而是平面的法向量，所以．
所以．
练习
7．已知是直线l的方向向量，是平面的法向量．
（1）若，求a，b的关系式；
（2）若，求a，b的值．
8．已知正方体的棱长为1，以D为原点，为单位正交基底建立空间直角坐标系．求证：．
9．如图，在长方体中，，，E是CD的中点，F是BC的中点．求证：平面平面．
1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题
例6如图1.4-18在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点．
图1.4-18
（1）求点B到直线的距离；
（2）求直线到平面的距离．
分析：根据条件建立空间直角坐标系，用坐标表示相关的点、直线的方向向量和平面的法向量，再利用有关公式，通过坐标运算得出相应的距离．
解：以为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图1.