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7.5正态分布
第七章随机变量及其分布
7.5正态分布
例李明上学有时坐公交车，有时骑自行车．他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时，样本方差为36；骑自行车平均用时，样本方差为4．假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布．
（1）估计X，Y的分布中的参数；
（2）根据（1）中的估计结果，利用信息技术工具画出X和Y的分布密度曲线；
（3）如果某天有可用，李明应选择哪种交通工具？如果某天只有可用，又应该选择哪种交通工具？请说明理由．
分析：（1）正态分布由参数和完全确定，根据正态分布参数的意义，可以分别用样本均值和样本标准差来估计．（3）这是一个概率决策问题，首先要明确决策的准则：在给定的时间内选择不迟到概率大的交通工具；然后结合图形，根据概率的表示，比较概率的大小？作出判断．
解：（1）随机变量X的样本均值为30，样本标准差为6；随机变量Y的样本均值为34，样本标准差为2．用样本均值估计参数，用样本标准差估计参数，可以得到
；．
（2）X和Y的分布密度曲线如图7.5-7所示．
图7.5-7
（3）应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工具．由图7.5-7可知，
，．
所以，如果有可用；那么骑自行车不迟到的概率大，应选择骑自行车；如果只有可用，那么坐公交车不迟到的概率大，应选择坐公交车．
练习
1．设随机变量，则X的密度函数为________，________，________，________，________．（精确到0.0001．）
2．设随机变量，随机变量，画出分布密度曲线草图，并指出与的关系，以及与之间的大小关系．
3．举出两个服从正态分布的随机变量的例子．
习题7.5
复习巩固
3．对某地区数学考试成绩的数据分析，男生成绩X服从正态分布，女生成绩Y服从正态分布．请你从不同角度比较男、女生的考试成绩．
4．某市高二年级男生的身高X（单位：cm）近似服从正态分布，随机选择一名本市高二年级的男生，求下列事件的概率：
（1）；
（2）；
（3）．
5．若，则X位于区域内的概率是多少？
综合运用
6．袋装食盐标准质量为400g，规定误差的绝对值不超过4g就认为合格．假设误差服从正态分布，随机抽取100袋食盐，误差的样本均值为0，样本方差为4．请你估计这批袋装食盐的合格率．