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7.1复数的概念
7.1复数的概念
7.1.1数系的扩充和复数的概念
例1当实数m取什么值时，复数是下列数？
（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.
分析：因为，所以，都是实数.由复数是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定m的取值.
解：（1）当，即时，复数z是实数.
（2）当，即时，复数z是虚数.
（3）当，且，即时，复数z是纯虚数.
练习
1．说出下列复数的实部和虚部：.
2．指出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数.为什么？.
3．求满足下列条件的实数x，y的值：
（1）；
（2）
7.1.2复数的几何意义
例2设复数，.
（1）在复平面内画出复数，对应的点和向量；
（2）求复数，的模，并比较它们的模的大小.
解：（1）如图7.1-4，复数，对应的点分别为，，对应的向量分别为，.
（2），
.
所以.
例3设，在复平面内z对应的点为Z，那么满足下列条件的点Z的集合是什么图形？
（1）；
（2）.
解：（1）由得，向量的模等于1，所以满足条件的点Z的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆.
（2）不等式可化为不等式
不等式的解集是圆的内部所有的点组成的集合，不等式的解集是圆外部所有的点组成的集合，这两个集合的交集，就是上述不等式组的解集，也就是满足条件的点Z的集合.容易看出，所求的集合是以原点O为圆心，以1及2为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界（图7.1-5）.
练习
4．说出图中复平面内各点所表示的复数（每个小方格的边长为1）．
5．在复平面内，描出表示下列复数的点：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)5；
(6)．
6．已知复数．
（1）在复平面内画出这些复数对应的向量；
（2）求这些复数的模．
习题7.1
复习巩固
7．符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子若不存在，请说明理由.
（1）实部为的虚数；
（2）虚部为的虚数；
（3）虚部为的纯虚数.
8．实数m分别为何值时，复数是
（1）实数；
（2）虚数；
（3）纯虚数.
9．求适合下列方程的实数x与y的值：
(1)；
(2)．
10．如果P是复平面内表示复数的点，分别指出在下列条件下点P的位置.
（1）；?????（2）；
（3）；??????（4）.
11．求复数及的模，并比较它们的模的大小.
综合运用
12．实数m取什么值时，复平面内表示复数z＝(m2－8m＋15)＋(m2－5m－14)i的点．
(1)位于第四象限？
(2)位于第一、三象限？
(3)位于直线y＝x上？
13．在复平面内，O原点，向量对应的复数是.
（1）如果点A关于实轴的对称点为点B，求向量对应的复数；
（2）如果（1）中点B关于虚轴的对称点为点C，求点C对应的复数.
14．设：,在复平面内z对应的点为Z,那么满足下列条件的点Z的集合是什么图形？
（1）；
（2）.
15．如果复数z的实部为正数，虚部为3,那么在复平面内，复数z对应的点应位于怎样的图形上？
拓广探索
16．已知复数z的虚部为,在复平面内复数z对应的向量的模为2,求这个复数z.
17．在复平面内指出与复数对应的点,判断这4个点是否在同一个圆上，并证明你的结论.
变式练习题
18．写出复数4，－π，2－3i，0，，，6i的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数.
19．当实数为何值时，复数i是实数、纯虚数、虚数？
20．已知，，若，求实数的取值集合．
21．已知复数（），且，求k的值.
22．若是纯虚数，则实数的值为（）
A． B． C． D．
23．以2i－的虚部为实部，以i＋2i2的实部为虚部的新复数是()
A．2－2i B．2＋i
C．－＋ D．＋i
24．若实数x，y满足(x＋y)＋(x－y)i＝2，则xy的值是____.