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5.3导数在研究函数中的应用
第五章一元函数的导数及其应用
5.3导数在研究函数中的应用
5．3．1函数的单调性
例1利用导数判断下列函数的单调性：
（1）；
（2），；
（3）．
解：（1）因为，所以
．
所以，函数在R上单调递减，如图5.3-4（1）所示．
（1）（2）（3）
图5.3-4
（2）因为，，所以
．
所以，函数在上单调递减，如图5.3-4（2）所示．
（3）因为，，所以
．
所以，函数在区间和上单调递增，如图5.3-4（3）所示．
例2已知导函数的下列信息：
当时，；
当，或时，；
当，或时，．
试画出函数图象的大致形状．
解：当时，，可知在区间上单调递增；
当，或时，，可知在区间和上都单调递减；
当，或时，，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”．
综上，函数图象的大致形状如图5.3-5所示．
图5.3-5
练习
1．判断下列函数的单调性：
（1）；????????
（2）
2．利用导数讨论二次函数的单调区间．
3．函数的图象如图所示，试画出函数图象的大致形状．
例3求函数的单调区间．
解：函数的定义域为R．对求导数，得
．
令，解得
，或．
和把函数定义域划分成三个区间，在各区间上的正负，以及的单调性如表5.3-1所示．
表5.3-1
所以，在和上单调递增，在上单调递减，如图5.3-6所示．
图5.3-6
例4设，，，两个函数的图象如图5.3-8所示．判断，的图象与，之间的对应关系．
图5.3-8
解：因为，，所以
，．
当时，；
当时，；
当时，．
所以，，在上都是增函数．在区间上，的图象比的图象要“陡峭”；在区间上，的图象比的图象要“平缓”．
所以，，的图象依次是图5.3-8中的，．
练习
4．判断下列函数的单调性，并求出单调区间：
（1）；????
（2）．
5．证明函数在区间上单调递减．
6．函数的图象如图所示，试画出函数图象的大致形状．
5．3．2函数的极值与最大（小）值
例5求函数的极值．
解：因为，所以
．
令，解得，或．
当x变化时，，的变化情况如表5.3-2所示；
表5.3-2
因此，当时，有极大值，并且极大值为
；
当时，有极小值，并且极小值为
．
函数的图象如图5.3-12所示．
图5.3-12
练习
7．函数的导函数的图象如图所示，试找出函数的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点．
8．求下列函数的极值：
（1）
（2）
（3）；
（4）
例6求函数在区间上的最大值与最小值．
解：由例5可知，在区间上，当时，函数有极小值，并且极小值为．
又由于
，，
所以，函数在区间上的最大值是4，最小值是．
上述结论可以从函数在区间上的图象（图5.3-16）得到直观验证．
图5.3-16
练习
9．参考求函数极值的练习，求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：
（1），，
（2），
（3），
（4），．
10．证明不等式：，
例7给定函数．
（1）判断函数的单调性，并求出的极值；
（2）画出函数的大致图象；
（3）求出方程解的个数．
解：（1）函数的定义域为．
．
令，解得．
，的变化情况如表5.3-4所示．
表5.3-4
所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增．
当时，有极小值．
（2）令，解得．
当时，；当时，．
所以，的图象经过特殊点，，．
当时，与一次函数相比，指数函数呈爆炸性增长，从而；
当时，，．
根据以上信息，我们画出的大致图象如图5.3-17所示．
图5.3-17
（3）方程的解的个数为函数的图象与直线的交点个数．
由（1）及图5.3-17可得，当时，有最小值．
所以，关于方程的解的个数有如下结论：
当时，解为0个；
当或时，解为1个；
当时，解为2个．
例8某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是，其中r（单位：）是瓶子的半径．已知每出售的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为．
（1）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
（2）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？
解：由题意可知，每瓶饮料的利润是
，．
所以
．
令，解得．
当时，；当时，．
因此，当半径时，，单调递增，即半径越大，利润越高；当半径时，，单调递减，即半径越大，利润越低．
（1）半径为时，利润最大．
（2）半径为时，利润最小，这时，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．
练习
11．利用函数