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5.2导数的运算
第五章一元函数的导数及其应用
5.2导数的运算
5．2．1基本初等函数的导数
例1求下列函数的导数：
（1）；
（2）．
解：（1）；
（2）．
例2假设某地在20年间的年均通货膨胀率为5%，物价p（单位：元）与时间t（单位：年）有如下函数关系
，
其中为时的物价．假定某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01元/年）？
解：根据基本初等函数的导数公式表，有
．
所以
．
所以，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨．
练习
1．求下列函数的导数：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
2．求下列函数在给定点的导数：
（1）在处的导数；
（2）在处的导数；
（3）在处的导数；
（4）在处的导数．
3．求余弦曲线在点处的切线方程．
4．求曲线在点处的切线方程．
5．2．2导数的四则运算法则
例3求下列函数的导数：
（1）；
（2）．
解：（1）
；
（2）
．
例4求下列函数的导数：
（1）；
（2）．
解：（1）
．
（2）
．
例5日常生活中的饮用水通常是经过净化的．随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1t水净化到纯净度为x%时所需费用（单位：元）为
．
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：
（1）90%；（2）98%．
解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．
．
（1）因为，所以，净化到纯净度为90%时，净化费用的瞬时变化率是52.84元/吨．
（2）因为，所以，净化到纯净度为98%时，净化费用的瞬时变化率是1321元/吨．
函数在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，．它表示净化到纯净度为98%左右时净化费用的变化率，大约是净化到纯净度为90%左右时净化费用变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快．
练习
1．运用基本初等函数的导数公式与导数运算法则，重新求解5．1节例2．你是否感觉到运算法则给解题带来的方便简捷？
5．求下列函数的导数：
（1）；（2）；（3）
（4）；（5），（6）
6．求曲线在点处的切线方程．
5．2．3简单复合函数的导数
例6求下列函数的导数：
（1）；
（2）；
（3）．
解：（1）函数可以看作函数和的复合函数．根据复合函数的求导法则，有
．
（2）函数可以看作函数和的复合函数．根据复合函数的求导法则，有
．
（3）函数可以看作函数和的复合函数．根据复合函数的求导法则，有
．
例7某个弹簧振子在振动过程中的位移y（单位：）关于时间t（单位：s）的函数满足关系式．求函数y在时的导数，并解释它的实际意义．
解：函数可以看作函数和的复合函数，根据复合函数的求导法则，有
．
当时，．
它表示当时，弹簧振子振动的瞬时速度为．
练习
7．求下列函数的导数：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
8．求下列函数在给定点的导数：
（1）在处的导数；
（2）在处的导数．
9．求曲线在点处的切线方程．
习题：5．2
10．求下列函数的导数；
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
11．求下列函数的导数．
(1)
(2)
(3)；
(4)
(5)
(6)．
12．已知函数，且，求．
13．已知函数．
（1）求这个函数的导数；
（2）求这个函数的图象在点处的切线方程．
14．求曲线在点处的切线方程．
15．已知函数满足，求在的导数．
16．设函数的图象与x轴相交于点P，求曲线在点P处的切线方程．
17．已知函数，求的导数，并求出的解集．
18．氡气是一种由地表自然散发的无味的放射性气体．如果最初有氡气，那么t天后，氡气的剩余量为．（参考数值，）
(1)氡气的散发速度是多少？
(2)的值是什么（精确到0.1）？它表示什么意义？
19．设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程l（单位：m）与时间t（单位：s）满足关系式．
（1）求关于t的导数，并解释它的实际意义；
（2）当时，求运动员的滑雪速度；
（3）当运动员的滑雪路程为时，求此时的滑雪速度．
20．设曲线在点处的切线与直线垂直．求a的值．
21．请按步骤，完成下面的任务．
（1）利用信息技术工具，分别画出，0.5，0.1，0.05时，函数图象．
（2）画出函数的图象，并与上面的四个图象比较，当h越来越小时，你观察到了什么？
（3）猜测的导数，它与基本初等函数的导数公式表中的导数公式一样吗？
21．某海湾拥有世界上最大的海潮，其高低水位之差可达到．假设在该海湾某一固定点，大海水深d（单位：m）与午夜后的时间t（单位：h）的关