1.3二项式定理
【学习目标】
1.通过从特殊到一般探究二项式定理；
2.会运用通项公式求二项展开式中指定的项（如常数项、有理项）；
3.能说出“项”、“项的系数”、“项的二项式系数”等概念的区别。
【学习重点】
1.通过从特殊到一般探究二项式定理；
2.会运用通项公式求二项展开式中指定的项（如常数项、有理项）；
【考纲要求】
①能用计数原理证明二项式定理
②会用计数原理证明二项式定理与二项式展开式有关的简单问题
【学习过程】
（一）自主学习
任务1：温故知新
复习1：积展开后，共有项.
复习2：在n=1,2,3时，写出的展开式.
=,
=,
=，
①展开式中项数为2，每项的次数为1；
②展开式中项数为3，每项的次数为2，
的次数规律是降幂，的次数规律是升幂.
③展开式中项数为4，每项的次数为3，
的次数规律是降幂，的次数规律升幂.
（二）合作探究
任务2探究任务一：二项式定理
问题1：猜测展开式中共有多少项？分别有哪些项？
【答案】展开式中共有n+1项;
分别有:
问题2：从乘法运算的角度分析结合排列组合相关知识解释下，各项系数分别是什么？
【答案】上述运算就是n个（a+b）的乘法运算，我们可以利用乘法分配律分布完成运算，每次从n个（a+b）中的每项中取出一个a或者b参与运算得到一项并合并同类项，如从n个（a+b）中的某一项取出一个a，其余的n-1个（a+b）中均取b，得到，从b被抽到的个数结合组合的角度思考这样的同类项共有故各项系数分别是:
新知：
（）
上面公式叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做的展开式，其中（r＝0，1，2，…，n）叫做二项式系数，叫做二项展开式的通项，用符号表示，即通项为展开式的第r项.
试试：写出，
⑴展开式共有项，
⑵展开式的通项公式是；
⑶展开式中第4项的二项式系数是，第四项系数是.
【答案】
;
7;
;
由知展开式中第4项的二项式系数是，第四项系数是.
反思：的展开式中，二项式系数与项系数相同吗？
【答案】不一定
任务:3:二项式定理应用
例1．已知的展开式中，第6项为常数项.
（1）求的值；
（2）求展开式中含的项的系数；
【答案】（1），（2），（3）
【解析】
【分析】
（1）根据第六项为常数项，的幂指数为0，求得的值
（2）在通项公式中，令的幂指数为2，可得展开式中含的项的系数
【详解】
（1）由题意可得为常数项
所以，即
（2）展开式的通项公式为
令，得
所以展开式中含的项的系数为
变式练习1.在的展开式中.
（1）求第3项；
（2）求含项的系数.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）直接利用二项式定理计算得到答案.
（2）直接利用二项式定理计算得到答案.
【详解】
（1），
（2），令，解得.
所以.所以含项的系数为.
任务4：杨辉三角与二项式定理的性质
问题1：在展开式中，当n＝1，2，3，…时，各项的二项式系数有何规律？
11
121
1331
14641
15101051
1615201561
新知1：上述二项式系数表叫做“杨辉三角”，表中二项式系数关系是
【答案】第n行第i个数与第i+1的数学的和等于第n+1行第i+1个数
探究任务二二项式系数的性质
问题2：设函数，函数的定义域是正整数，函数图象有何性质？（以n＝6为例）
【答案】关于n=3对称
新知3：二项式系数的性质
⑴对称性:
【答案】与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,图象的对称轴是.
试试：
①在(a＋b)展开式中，与倒数第三项二项式系数相等是(B)
A第２项B第３项