PAGE
PAGE1
第八章成对数据的统计分析
8.1成对数据的统计相关性
8.1.1变量的相关关系
练习
1.举例说明什么叫相关关系．相关关系与函数关系有什么区别？
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】根据相关关系和函数关系概念即可说明.
【详解】相关关系：当自变量取值一定，因变量的取值带有一定的随机性(非确定性关系)，
函数关系：函数关系指的是自变量和因变量之间的关系是相互唯一确定的.
相同点:均是指两个变量的关系.
不同点:函数关系是一种确定的关系，因果关系;而相关关系是一种非确定性关系，也可能是伴随关系.
举例：身高与体重是相关关系，身高越高体重不一定大.
2.根据下面的散点图，判断图中的两个变量是否存在相关关系．
【答案】(1)存在相关关系;(2)存在相关关系;(3)不存在相关关系；(3)存在相关关系;
【解析】
【分析】根据散点图中散点呈现的变化趋势依次判断两个变量间的相关关系即可.
【详解】（1）由（1）的散点图可以看到，两个变量确定的散点几乎落在了一条直线附近，所以可以判定两个变量之间存在线性相关关系，图像呈现左上右下趋势，说明两个变量呈负线性相关关系；
（2）由（2）的散点图可以看到，两个变量确定的散点几乎落在了一条曲线附近，所以可以判定两个变量之间存在相关关系，而且是非线性相关关系；
（3）由（3）的散点图可以看到，两个变量确定的散点没有落在了一条直线或者曲线附近，是杂乱无章的，所以可以判定两个变量之间不存在相关关系；
（4）由（4）的散点图可以看到，两个变量确定的散点几乎落在了一条直线附近，所以可以判定两个变量之间存在相关关系，图像呈现左下右上趋势，说明两个变量呈正线性相关关系；
3.下表给出了一些地区的鸟的种类数与该地区的海拔高度的数据，鸟的种类数与海拔高度是否存在相关关系？如果是，那么这种相关关系有什么特点？
地区
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
海拔/m
1250
1158
1067
457
701
731
610
670
1493
762
549
鸟的种类/种
36
30
37
11
11
13
17
13
29
4
15
【答案】存在正相关，相关性较强.
【解析】
【分析】由表中数据计算相关系数即可得出结果.
【详解】设鸟的种类数为，海拔高度为，
，
，
，
当时，且时，两变量正相关，相关性较强.
所以由数据可知，鸟类的种数随海拔高度增加而增加，
两者呈正相关，相关性较强.
8.1.2样本相关系数
例1根据表8.1-1中脂肪含量和年龄的样本数据，判断两个变量是否线性相关，计算样本相关系数，并刻画它们的相关程度．
解：先画出散点图（图8.1-1）．观察散点图，可以看出样本点都集中在一条直线附近，由此判断脂肪含量和年龄线性相关．
根据样本相关系数的定义，
．①
利用计算工具计算可得
，，，
，．
代入①式，得
．
图8.1-1
由样本相关系数，可以推断脂肪含量和年龄这两个变量正线性相关，且相关程度很强．
例2有人收集了某城市居民年收入（即所有居民在一年内收入的总和）与A商品销售额的10年数据，如表8.1-2所示．
表8.1-2
第n年
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
居民年收入/亿元
32.2
31.1
32.9
35.8
37.1
38.0
39.0
43.0
44.6
460
A商品销售额/万元
25.0
30.0
34.0
37.0
39.0
41.0
42.0
440
48.0
51.0
画出散点图，判断成对样本数据是否线性相关，并通过样本相关系数判断居民年收入与A商品销售额的相关程度和变化趋势的异同．
解：画出成对样本数据的散点图（图8.1-6），从散点图看，A商品销售额与居民年收入的样本数据呈现出线性相关关系．
由样本数据计算得样本相关系数．由此可以推断，A商品销售额与居民年收入正线性相关，即A商品销售额与居民年收入有相同的变化趋势，且相关程度很强．
图8.1-6
例3在某校高一年级中随机抽取25名男生，测得他们的身高、体重、臂展等数据，如表8.1-3所示．
编号
身高/
体重/
臂展/
编号
身高/
体重/
臂展/
1
173
55
169
14
166
66
161
2
179
71
170
15
176
61
166
3
175
52
172
16
176
49
165
4
179
62
177
17
175
60
173
5
182
82
174
18
169
48
162
6
173
63
166
19
184
86
189
7
180
55
174
20
169
58
164
8
170
81
169
21
182
54
170
9
169
54
166
22
171
5