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7.1条件概率与全概率公式
第七章随机变量及其分布
7.1条件概率与全概率公式
7.1.1条件概率
例1在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.求：
（1）第1次抽到代数题目第2次抽到几何题的概率；
（2）在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率.
分析：如果把“第1次抽到代数题”和“第2次抽到几何题”作为两个事件，那么问题（1）就是积事件的概率，问题（2）就是条件概率.可以先求积事件的概率，再用条件概率公式求条件概率；也可以先求条件概率，再用乘法公式求积事件的概率.
解法1：设“第1次抽到代数题”，“第2次抽到几何题”.
（1）“第1次抽到代数题且第2次抽到几何题”就是事件.从5道试题中每次不放回地随机抽取2道，试验的样本空间Ω包含20个等可能的样本点，即
.
因为，所以
.
（2）“在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题”的概率就是事件A发生的条件下，事件B发生的概率.显然.利用条件概率公式，得
.
解法2：在缩小的样本空间A上求.已知第1次抽到代数题，这时还余下4道试题，其中代数题和几何题各2道.因此，事件A发生的条件下，事件B发生的概率为
.
又，利用乘法公式可得
.
例2已知3张奖券中只有1张有奖，甲、乙、丙3名同学依次无放回地各抽一张.他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗？
分析：要知道中奖概率是否与抽奖次序有关，只要考察甲、乙、丙3名同学的中奖概率是否相等.因为只有1张有奖，所以“乙中奖”等价于“甲没中奖且乙中奖”，“丙中奖”等价于“甲和乙都没中奖：利用乘法公式可求出乙、丙中奖的概率.
解：用A，B，C分别表示甲、乙、丙中奖的事件，则，.
；
；
.
因为，所以中奖的概率与抽奖的次序无关.
例3银行储蓄卡的密码由6位数字组成.某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字，求：
（1）任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率；
（2）如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率.
分析：最后1位密码“不超过2次就按对”等价于“第1次按对，或者第1次按错但第2次按对”.因此，可以先把复杂事件用简单事件表示，再利用概率的性质求解.
解：（1）设“第i次按对密码”（，2），则事件“不超过2次就按对密码”可表示为
.
事件与事件互斥，由概率的加法公式及乘法公式，得
.
因此，任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率为.
（2）设“最后1位密码为偶数”，则
.
因此，如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率为.
练习
1．设，且，.根据事件包含关系的意义及条件概率的意义，直接写出和的值再由条件概率公式进行验证.
2．从一副不含大小王的52张扑克牌中，每次从中随机抽出1张扑克牌，抽出的牌不再放回.已知第1次抽到A牌，求第2次抽到A牌的概率.
3．袋子中有10个大小相同的小球，其中7个白球，3个黑球.每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.求：
（1）在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率；
（2）两次都摸到白球的概率.
7.1.2全概率公式
例4某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8.计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率.
分析：第2天去哪家餐厅用餐的概率受第1天在哪家餐厅用餐的影响，可根据第1天可能去的餐厅，将样本空间表示为“第1天去A餐厅”和“第1天去B餐厅”两个互斥事件的并，利用全概率公式求解.
解：设“第1天去A餐厅用餐”，“第1天去B餐厅用餐”，“第2天去A餐厅用餐”，则.，且与互斥，根据题意得
，，.
由全概率公式，得
.
因此，王同学第2天去A餐厅用餐的概率为0.7.
例5有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.
（1）任取一个零件，计算它是次品的概率；
（2）如果取到的零件是次品，计算它是第式￡=1，2，3）台车床加工的概率.
分析：取到的零件可能来自第1台车床，也可能来自第2台或第3台车床，有3种可能.如果设“任取一零件为次品”，“零件为第i台车床加工”（，2，3），如图7.1-3，那么可将事件B表示为3个两两互斥事件的并，利用全概率公式可以计算出事件B的概率.
图7.1-3
解：设“任取一个零件为次品”，“零件为第i台车床加工”（，2，3），则，且，，两两互斥.根据题意得
，，，
，.
（1）由全概率公式，