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文件名称:4.2 等差数列(解析版).docx
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更新时间:2025-06-24
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4.2等差数列

第四章数列

4.2等差数列

4.2.1等差数列的概念

例1(1)已知等差数列的通项公式为,求的公差和首项;

(2)求等差数列8,5,2,…的第20项.

分析:(1)已知等差数列的通项公式,只要根据等差数列的定义,由即可求出公差d;(2)可以先根据数列的两个已知项求出通项公式,再利用通项公式求数列的第20项.

解:(1)当时,由的通项公式,可得

.

于是.

把代入通项公式,得

.

所以,的公差为,首项为3.

(2)由已知条件,得

.

把,代入,得

.

把代入上式,得

.

所以,这个数列的第20项是.

例2是不是等差数列,,,……的项?如果是,是第几项?

分析:先求出数列的通项公式,它是一个关于n的方程,再看是否能使这个方程有正整数解.

解:由,,得这个数列的通项公式为

.

令,

解这个关于n的方程,得.

所以,是这个数列的项,是第100项.

练习

1.判断下列数列是否是等差数列.如果是,写出它的公差.

(1)95,82,69,56,43,30;

(2)1,1.1,1.11,1.111,1.1111,1.11111;

(3)1,-2,3,-4,5,-6;

(4)1,,,,,,.

2.求下列各组数的等差中项:

(1)647和895;????????

(2)和.

3.已知在等差数列中,,.求.

4.在7和21中插入3个数,使这5个数成等差数列.

例3某公司购置了一台价值为220万元的设备,随着设备在使用过程中老化,其价值会逐年减少.经验表明,每经过一年其价值就会减少d(d为正常数)万元.已知这台设备的使用年限为10年,超过10年,它的价值将低于购进价值的5%,设备将报废.请确定d的取值范围.

分析:这台设备使用n年后的价值构成一个数列.由题意可知,10年之内(含10年),这台设备的价值应不小于万元;而10年后,这台设备的价值应小于11万元.可以利用的通项公式列不等式求解.

解:设使用n年后,这台设备的价值为万元,则可得数列.由已知条件,得

.

由于d是与n无关的常数,所以数列是一个公差为的等差数列.因为购进设备的价值为220万元,所以,于是

.

根据题意,得

解这个不等式组,得.

所以,d的取值范围为.

例4已知等差数列的首项,公差,在中每相邻两项之间都插入3个数,使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列.

(1)求数列的通项公式.

(2)是不是数列的项?若是,它是的第几项?若不是,说明理由.

分析:(1)是一个确定的数列,只要把,表示为中的项,就可以利用等差数列的定义得出的通项公式;(2)设中的第n项是中的第项,根据条件可以求出n与的关系式,由此即可判断是否为的项.

解:(1)设数列的公差为.

由题意可知,,,于是

.

因为,所以,所以.

所以.

所以,数列的通项公式是.

(2)数列的各项依次是数列的第1,5,9,13,…项,这些下标构成一个首项为1,公差为4的等差数列,则.

令,解得.

所以,是数列的第8项.

例5已知数列是等差数列,p,q,s,,且.求证.

分析:只要根据等差数列的定义写出,,,,再利用已知条件即可得证.

证明:设数列的公差为d,则

.

所以,.

因为,所以.

练习

5.某体育场一角看台的座位是这样排列的:第1排有15个座位,从第2排起每一排都比前一排多2个座位.你能用表示第n排的座位数吗?第10排有多少个座位?

6.画出数列的图象,并求通过图象上所有点的直线的斜率.

7.在等差数列中,,,且,求.

8.已知数列,都是等差数列,公差分别为,,数列满足.

(1)数列是否是等差数列?若是,证明你的结论;若不是,请说明理由.

(2)若,的公差都等于2,,求数列的通项公式.

9.已知一个无穷等差数列的首项为,公差为d.

(1)将数列中的前m项去掉,其余各项组成一个新的数列,这个新数列是等差数列吗?如果是,它的首项和公差分别是多少?

(2)取出数列中的所有奇数项,组成一个新的数列,这个新数列是等差数列吗?如果是,它的首项和公差分别是多少?

(3)取出数列中所有序号为7的倍数的项,组成一个新的数列,它是等差数列吗?你能根据得到的结论作出一个猜想吗?

4.2.2等差数列的前n项和公式

例6已知数列是等差数列.

(1)若,,求;

(2)若,,求;

(3)若,,,求n.

分析:对于(1),可以直接利用公式求和;在(2)中,可以先利用和的值求出d,再利用公式求和;(3)已知公式中的,d和,解方程即可求得n.

解:(1)因为,,根据公式,可得

.

(2)因为,,所以.根据公式,可得

.

(3)把,,代入,得

.

整理,得

.

解得,或(舍去).

所以.

例7已知一个等差数列前10项的和是