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4.2等差数列
第四章数列
4.2等差数列
4.2.1等差数列的概念
例1（1）已知等差数列的通项公式为，求的公差和首项；
（2）求等差数列8，5，2，…的第20项.
分析：（1）已知等差数列的通项公式，只要根据等差数列的定义，由即可求出公差d；（2）可以先根据数列的两个已知项求出通项公式，再利用通项公式求数列的第20项.
解：（1）当时，由的通项公式，可得
.
于是.
把代入通项公式，得
.
所以，的公差为，首项为3.
（2）由已知条件，得
.
把，代入，得
.
把代入上式，得
.
所以，这个数列的第20项是.
例2是不是等差数列，，，……的项？如果是，是第几项？
分析：先求出数列的通项公式，它是一个关于n的方程，再看是否能使这个方程有正整数解.
解：由，，得这个数列的通项公式为
.
令，
解这个关于n的方程，得.
所以，是这个数列的项，是第100项.
练习
1．判断下列数列是否是等差数列．如果是，写出它的公差．
（1）95，82，69，56，43，30；
（2）1，1.1，1.11，1.111，1．1111，1.11111；
（3）1，－2，3，－4，5，－6；
（4）1，，，，，，．
2．求下列各组数的等差中项：
（1）647和895；????????
（2）和.
3．已知在等差数列中，，．求．
4．在7和21中插入3个数，使这5个数成等差数列．
例3某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值就会减少d（d为正常数）万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废.请确定d的取值范围.
分析：这台设备使用n年后的价值构成一个数列.由题意可知，10年之内（含10年），这台设备的价值应不小于万元；而10年后，这台设备的价值应小于11万元.可以利用的通项公式列不等式求解.
解：设使用n年后，这台设备的价值为万元，则可得数列.由已知条件，得
.
由于d是与n无关的常数，所以数列是一个公差为的等差数列.因为购进设备的价值为220万元，所以，于是
.
根据题意，得
即
解这个不等式组，得.
所以，d的取值范围为.
例4已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列.
（1）求数列的通项公式.
（2）是不是数列的项？若是，它是的第几项？若不是，说明理由.
分析：（1）是一个确定的数列，只要把，表示为中的项，就可以利用等差数列的定义得出的通项公式；（2）设中的第n项是中的第项，根据条件可以求出n与的关系式，由此即可判断是否为的项.
解：（1）设数列的公差为.
由题意可知，，，于是
.
因为，所以，所以.
所以.
所以，数列的通项公式是.
（2）数列的各项依次是数列的第1，5，9，13，…项，这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列，则.
令，解得.
所以，是数列的第8项.
例5已知数列是等差数列，p，q，s，，且.求证.
分析：只要根据等差数列的定义写出，，，，再利用已知条件即可得证.
证明：设数列的公差为d，则
，
，
，
.
所以，.
因为，所以.
练习
5．某体育场一角看台的座位是这样排列的：第1排有15个座位，从第2排起每一排都比前一排多2个座位．你能用表示第n排的座位数吗？第10排有多少个座位？
6．画出数列的图象，并求通过图象上所有点的直线的斜率.
7．在等差数列中，，，且，求．
8．已知数列，都是等差数列，公差分别为，，数列满足．
（1）数列是否是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由．
（2）若，的公差都等于2，，求数列的通项公式．
9．已知一个无穷等差数列的首项为，公差为d．
（1）将数列中的前m项去掉，其余各项组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？
（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？
（3）取出数列中所有序号为7的倍数的项，组成一个新的数列，它是等差数列吗？你能根据得到的结论作出一个猜想吗？
4.2.2等差数列的前n项和公式
例6已知数列是等差数列.
（1）若，，求；
（2）若，，求；
（3）若，，，求n.
分析：对于（1），可以直接利用公式求和；在（2）中，可以先利用和的值求出d，再利用公式求和；（3）已知公式中的，d和，解方程即可求得n.
解：（1）因为，，根据公式，可得
.
（2）因为，，所以.根据公式，可得
.
（3）把，，代入，得
.
整理，得
.
解得，或（舍去）.
所以.
例7已知一个等差数列前10项的和是