专题2常用逻辑用语
知识必备
1全称量词与全称量词命题
（1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词并用符号“?”表示.
（2）全称量词命题：含有全称量词的命题.
（3）全称量词命题的符号表示：“对M中任意一个x，px成立”，可用符号简记为?x∈M，p
常见的全称量词还有：“一切”“每一个”“任给”等
2存在量词与存在量词命题
（1）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词并用符号“ヨ”表示.
（2）存在量词命题：含有存在量词的命题.
（3）存在量词命题的符号表示：“存在M中的元素x，px成立”，可用符号简记为?x∈M，px
3全称量词命题与存在量词命题的否定
一般地，对于一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新的命题成为原命题的否定.
一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假.
通常，用符号“?px”表示“p
（1）全称量词命题的否定：
全称量词命题：?x∈M，px；它的否定：?x∈M，?p
全称量词命题的否定是存在量词命题.
（2）存在量词命题的否定：
存在量词命题：?x∈M，px；它的否定：?x∈M，?p
存在量词命题的否定是全称量词命题.
4充分条件与必要条件
（1）充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p?q且q?p
p是q的必要不充分条件
p?q且q?p
p是q的充要条件
p?q
p是q的既不充分也不必要条件
p?q且q?p
（2）从集合的角度：
若条件p，q以集合的形式出现，即A={x∣px}，B={x∣qx}，则由A?B可得，p是q的充分条件，请写出集合
若A?B，则p是q的必要条件；
若A?B，则p是q的充分不必要条件；
若A?B，则p是q的必要不充分条件；
若A=B，则p是q的充要条件.
典型例题
考点一全称量词及存在性量词
【例题1】（1）下列命题中的假命题是（）
A?x∈R，2x10
C?x∈R，lgx1 D?x∈R，tanx=2
（2）以下四个命题既是存在性命题又是真命题的是（）
A锐角三角形有一个内角是钝角 B至少有一个实数x，使x2≤0
C两个无理数的和必是无理数 D存在一个负数x，使1x2
【例题2】（1）命题“?x
A?x0∈R，x0
C?x0∈R，x0
（2）命题”?x∈A，2x∈B”的否定为（）
A?x∈A，2x?B B?x?A，2x∈B
C?x∈A，?2x?B D?x?A，2x∈B
【例题3】已知命题p：?x∈R，x2a≥0；命题q：?x∈R，x22ax
考点二充分、必要条件的判断
【例题4】命题“ab”是命题“ac
A充分不必要 B必要不充分
C充要 D既不充分也不必要
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【例题5】对任意实数a，b，c，给出下列命题，其中真命题是（）
A“a=b”是“ac=bc”的充要条件 B“ab”是“a2b
C“a5”是“a3”的必要条件 D“a5是无理数”是“a是无理数”的充要条件
【例题6】下面命题正确的是（）
A“a1”是“1a1”的充分不必要条件
B命题“任意x1，则x21”的否定是“存在x1，则x
C设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2y2
D设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件
【例题7】已知a∈R，则“0a1”是“?x∈R，ax
A充分不必要条件 B必要不充分条件
C充要条件 D既不充分也不必要条件
【例题8】下列选项中，可以作为曲线y=ax22x
A1，∞ B1，0?
C1，0 D2，∞
考点三含参问题的讨论
【例题9】若“x3”是“xa”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________
【例题10】“?x∈R，x22x
【例题11】若命题“?x∈R，x24x
A（∞，4] B∞，4
C∞，4 D[4，