问题化教学促学生形成函数模型思想
摘??要：函数概念是数学中的重要概念，相当抽象.而模型思想，可以描述和分析变量之间的对应关系，便于学生理解.以问题为导向的问题化教学设计，其目的就是从学生的学情出发，根据学生的“最近发展区”提出话题或问题，引导学生自主发现并提出问题，以激发学生主动学习的兴趣，进而帮助学生自主建立适当的函数模型來刻画和解决问题，提升数学核心素养.
关键词：问题化教学;函数模型
函数概念深刻地反映了客观世界的运动和实际量之间的依赖关系，是近代数学的主要基础.模型思想是针对要解决的实际问题，构造相应的数学模型，通过对数学模型的研究来解决实际问题的一种数学思想方法.函数模型思想，即在解决实际问题时，发现在变化过程中存在着变量之间的对应关系，通过构造相应的函数模型来描述、分析并解决实际问题的数学思想.问题化教学是指课堂教学中，教师以问题为载体，不断刺激学生思考问题、发现问题，再提出问题、分析并解决问题，获得数学活动的经验，形成数学思考的教学方法.这种课堂模式从学生的“最近发展区”中提出问题，渗透函数模型思想，能激发学生的探究热情，引导学生发现问题、分析问题并最终解决问题.
下面笔者以在宁波市海曙区第十五届初中数学教坛新秀评比中上的“注水问题中的函数模型——一次函数应用复习”一课为例，谈谈以问题化教学促使学生形成函数模型思想的策略.
一、学情分析及目标设定
（一）学情分析
本节课的教学对象是已快结束八年级下学期课程的学生，他们已经具备几何图形分析、数形结合思想，以及运用方程与不等式解决实际问题的能力.但是由于函数概念的抽象性，学生还是难以应用函数来描述实际问题，难以通过函数分析来解决实际问题.
（二）目标设定
1.借助函数的图象与性质，运用方程、不等式的相关知识来分析和解决问题，并渗透函数与方程、数形结合、分类讨论、化归等数学思想方法.
2.经历数学函数建模解决实际问题的过程，能够运用数学语言来描述实际问题，提炼出相应的数学问题，再通过相关数学函数模型来解决此数学问题，从而达成解决实际问题的目标，提升学生的数学函数建模思想素养.
二、教学过程
（一）背景引入，激发兴趣
例1?甲杯中下圆柱的底面积为10cm2，高为20cm;上圆柱底面积为30cm2，高不限，上下连通.乙杯是底面积为20cm2且不限高的圆柱形（图略）.现向甲、乙两杯中分别注水，设水面高度为h（cm），杯中水的体积为V甲（mL），V乙（mL）.
问题1：分别写出V甲，V乙与h的关系式.
问题2：请将V甲和V乙画在同一个平面直角坐标系中.
教学活动1：（1）引导学生自主思考、交流，经历“从实际问题到数学问题的抽象”这一过程，体会如何从实际问题中变量之间的恒等关系出发，寻求函数解析式.（2）让学生动手画图，体会在分段函数的画图中自变量取值范围的重要性，培养学生的数学严谨性.
设计意图：杯中注水，水的体积与高度会发生动态变化.学生有相关经验，所以V乙与h的关系毫无挑战性，但是由于甲杯的组合性，需要分段求解，学生就要跳一跳才能够得着.这种基于“最近发展区”的提问，大大激发了学生的求知欲.
问题3：观察图形（图略），V甲关于h的图象与V乙关于h的图象是否会相交？若相交，请求出交点，并思考交点所代表的实际含义.若不相交，请说明理由.
教学活动2：（1）学生自主观察与小组讨论相结合，与同伴一起学习，找出差异.（2）通过图形观察以及对一次函数中K相等所对应的图形关系的理解，体会数形结合的思想在画图中的作用.（3）利用方程思想求交点，通过对交点所表达的实际含义的思考，进一步理解实际问题.
设计意图：应用函数模型解决实际问题，大多会用到函数图象来进行分析探究，所以画图是基本功，哪怕是草图，也不能忽略图形本身可能具备的位置关系.这可以培养学生画图的正确意识.
问题4：继续观察图形，你还能从图形中发现什么呢？试着跟同桌交流.
教学活动3：看图说话，培养学生观察分析与合作交流的能力.在小组交流中，可以越来越清晰地呈现出图形带来的解题思考.这可以培养学生数形结合的解题思想.
预设1：变化规律：V甲随着h增大而增大，不过，一开始增大得比较缓慢，后来增大得很快;而V乙随着h增大而增大，保持速度不变.探究变化规律的原因.
预设2：当h为何值时，V甲=V乙？当h为何值时，V甲V乙？当h为何值时，V甲V乙？
设计意图：开放式话题，能刺激学生打开思维，培养学生发现问题、提出问题的能力.预设1和预设2是学生能想到的问题，让学生提出来，更能促使他们主动思考解题的方法.兴趣是最好的老师，要把学习的主动权还给学生.
（二）问题探究，步步深入
问题5：根据以上信息，如果你是老师，你还可以补充一个条件，再提出新的问题吗？小组合作讨论.
教学活动4：有了问题4的学习经验，面对问题5学生非常踊跃，所提问题