专题33空间中的垂直问题
知识必备
1直线与直线所成的角（异面直线所成的角）
（1）已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a//a，b//b，我们把直线a
规定：如果两条异面直线所成的角是直角，那么说两条异面直线垂直，记作a⊥b.
范围：异面直线所成角的范围为0，π
（2）空间中直线与直线所成的角
规定：当两条直线互相平行的时候，我们规定他们所成的角为0°
范围：直线与直线所成角的范围为0，π
2直线和平面所成的角.
（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
规定：若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°
（2）范围：0，π
3直线与平面垂直
（1）线面垂直的定义：如果直线l和平面α内的任意一条直线都垂直，则称直线和平面垂直，记作：l⊥α.
（2）线面垂直的判定：如果一条直线和平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面.
a?α
（3）线面垂直的性质：垂直于同一个平面的两条直线平行.
a⊥α
4平面与平面垂直
（1）二面角的相关概念：
二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.
这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面.
二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角图中的∠AOB，∠AO
直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角.
（2）面面垂直的定义：
如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直，记作：α⊥β.
（3）面面垂直的判定：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.
AB⊥β
（4）面面垂直的性质：两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.
α⊥β
典型例题
考点一线面垂直判定与性质
【例题1】已知直线m，n和平面α，如果n?α，那么“m⊥n”是“m⊥α”的（）
A充分而不必要条件 B必要而不充分条件
C充分必要条件 D既不充分也不必要条件
【例题2】如图，PA⊥平面ABC，在△ABC中，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数有________
【例题3】如图，在正方体ABCDA1B1C1D
【例题4】如图，在正方体ABCDA1B1C1D1，G为CC1
【例题5】如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足.
（1）求证：AN⊥平面PBM；
（2）若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.
【例题6】如图，直三棱柱ABCA1B1C
（1）求证：MN//平面ABB
（2）线段CC1上是否存在点Q，使A1
【例题7】如图，四面体PABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=BC=1，AC=
（1）证明：BC⊥平面PAB；
（2）在线段PC上是否存在点D，使得AC⊥BD，若存在，求PD的值，若不存在，请说明理由.
考点二面面垂直的判定与性质
【例题8】设m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）
A若m//n，m?α，n?β，则α//β B若m⊥n，m?α，n?β，则α⊥β
C若m//n，m⊥α，n⊥β，则α//β D若m⊥n，m//α，n//β，则α⊥β
【例题9】设m，n，l是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）
A若m//β，n//β，l//β，m，n，l?α，则α//β B若m//α，m//n，则n//α
C若m//n，n⊥β，m?α，则α⊥β D若m⊥n，m⊥l，n，l?β，则m⊥β
【例题10】经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有（）
A0个 B1个
C无数个 D1个或无数个
【例题11】PA垂直于正方形ABCD所在平面，连接PB，PC，PD，AC，BD，则下列垂直关系正确的个数是（）
①面PAB⊥面PBC；②面PAB⊥面PAD；③面PAB⊥面PCD；④面PAB⊥面PAC.
A1 B2
C3 D4
【例题12】如图，在底面为直角梯形的四棱锥PABCD中，AD//BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，AC?BD=E，AD=2，AB=23，BC=6
【例题13】如图，三棱台DEFABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC
（1）求证：BD//平面FGH；
（2）若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.
【例题14】如图，在四棱锥PABCD中，AB//CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC
求证：（1）PA⊥底面ABCD；
（2）平面BEF//平面PAD；
（3）平面BEF⊥平面PCD.
【例题