课时分层作业(十六)
(本试卷共62分．单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分．)
一、单项选择题
1．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()
x
1.992
3
4
5.15
6.126
y
1.517
4.0418
7.5
12
18.01
A．y＝2x－2 B．y＝eq\f(1,2)(x2－1)
C．y＝log2x D．y＝logeq\s\do10(\f(1,2))x
B[由题表可知函数单调递增，且y随x的增大而增大得越来越快，分析选项可知B符合．故选B.]
2．视力检测结果有两种记录方式，分别是小数记录与五分记录，其部分数据如表所示．
小数记录x
0.1
0.12
0.15
…
1
1.2
1.5
2.0
五分记录y
4.0
4.1
4.2
…
5
5.1
5.2
5.3
现有如下函数模型：①y＝5＋lgx，②y＝5＋eq\f(1,10)lgeq\f(1,x)，x表示小数记录数据，y表示五分记录数据，请选择最合适的模型解决如下问题：小明同学检测视力时，医生告诉他的视力为4.7，则小明同学的小数记录数据为(附：100.3≈2,5－0.22≈0.7,10－0.1≈0.8)()
A．0.3 B．0.5
C．0.7 D．0.8
B[由表格中的数据可知，函数单调递增，合适的函数模型为y＝5＋lgx，
令y＝5＋lgx＝4.7，
解得x＝10－0.3＝0.5.]
3．大气压强p(单位：kPa)与海拔h(单位：m)之间的关系可以由p＝p0e－kh近似描述，其中p0为标准大气压强，k为常数．已知海拔为5000m，8000m两地的大气压强分别为54kPa，36kPa.若测得某地的大气压强为80kPa，则该地的海拔约为(参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477)()
A．295m B．995m
C．2085m D．3025m
C[由题知54＝p0e－5000k①，36＝p0e－8000k②，
①÷②两式相比得到e3000k＝eq\f(3,2)，
所以3000k＝lneq\f(3,2)③.
当p＝80kPa时，由80＝p0e－kh④，②÷④得到ekh－8000k＝eq\f(9,20)，
所以k(h－8000)＝lneq\f(9,20)⑤.
由⑤÷③，得到eq\f(h－8000,3000)＝eq\f(ln\f(9,20),ln\f(3,2))＝eq\f(lg\f(9,20),lg\f(3,2))＝eq\f(2lg3－1－lg2,lg3－lg2)≈－eq\f(0.347,0.176)，
解得h≈2085.故选C．]
4．(2025·长治模拟)研究人员用Gompertz数学模型表示治疗时长x(月)与肿瘤细胞含量f(x)的关系，其函数解析式为f(x)＝ka－b－x，其中k0，b0，a为参数．经过测算，发现a＝e(e为自然对数的底数)．记x＝1表示第一个月，若第二个月的肿瘤细胞含量是第一个月的eq\f(1,e)，那么b的值为()
A．eq\r(5)＋1 B．eq\r(5)－1
C．eq\f(\r(5)＋1,2) D．eq\f(\r(5)－1,2)
D[依题意，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f?1?＝ke－b－1，,f?2?＝ke－b－2，))而f(2)＝eq\f(1,e)f(1)，则e－b－2＋b－1＝eq\f(1,e)，即b－2－b－1－1＝0.
又b0，解得b－1＝eq\f(\r(5)＋1,2)，所以b＝eq\f(\r(5)－1,2).故选D.]
二、多项选择题
5．(2025·烟台模拟)小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线．为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量y与时间x(单位：天)之间的函数关系y＝f(x)＝则下列说法中正确的是()
A．随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低
B．第一天小菲的单词记忆保持量下降最多
C．9天后，小菲的单词记忆保持量不低于40%
D．26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%
AB[对于A，由函数解析式和图象可知f(x)随着x的增加而减少，故A正确；
对于B，由图象的减少快慢可知，第一天小菲的单词记忆保持量下降最多，故B正确；
对于C，当1x≤30时，f(x)＝eq\f(1,5)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,20)))x－eq\f(1,2)，则f(9)＝eq\f(1,5)＋eq\b\