课时分层作业(二十一)
(本试卷共60分．)
1．(15分)已知函数f(x)＝ax3－bx2－9x－1在x＝－1处取得极值4.
(1)求a，b的值；
(2)若存在x∈[2,4]，使3λ－λ2≥f(x)成立，求实数λ的取值范围．
解：(1)f(x)＝ax3－bx2－9x－1，则f′(x)＝3ax2－2bx－9.
因为函数f(x)＝ax3－bx2－9x－1在x＝－1处取得极值4，
所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a＋2b－9＝0，,－a－b＋9－1＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝3，))
此时f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)．
易知f(x)在(－∞，－1)上单调递增，在(－1,3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，
则x＝－1是函数f(x)的极大值点，符合题意．故a＝1，b＝3.
(2)若存在x∈[2,4]，使3λ－λ2≥f(x)成立，则3λ－λ2≥f(x)min.
由(1)得，f(x)＝x3－3x2－9x－1，
且f(x)在[2,3)上单调递减，在(3,4]上单调递增，
所以f(x)min＝f(3)＝27－27－27－1＝－28，所以3λ－λ2≥－28，即λ2－3λ－28≤0，解得－4≤λ≤7，
所以实数λ的取值范围是[－4,7]．
2．(15分)(2025·泰安模拟)已知函数f(x)＝lnx＋eq\f(a,x)，a∈R.当x≥1时，关于x的不等式f(x)≤x－2a恒成立，试求实数a的取值范围．
解：当x≥1时，f(x)≤x－2a，即lnx＋eq\f(a,x)≤x－2a，即a≤eq\f(x2－xlnx,1＋2x)恒成立．
构造函数g(x)＝eq\f(x2－xlnx,1＋2x)(x≥1)，g(1)＝eq\f(1,3)，
g′(x)＝eq\f(2x2－lnx－1,?1＋2x?2)，
构造函数h(x)＝2x2－lnx－1(x≥1)，h′(x)＝4x－eq\f(1,x)＝eq\f(4x2－1,x)＝eq\f(?2x＋1??2x－1?,x)＞0，
所以h(x)在[1，＋∞)上单调递增，h(1)＝1＞0，
所以g′(x)＞0在[1，＋∞)上成立，
所以g(x)≥g(1)＝eq\f(1,3)，
所以a≤eq\f(1,3)，
即a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3))).
3．(15分)已知函数f(x)＝x－(a＋1)lnx－eq\f(a,x)(a∈R)，g(x)＝eq\f(1,2)x2＋ex－xex.
(1)当x∈[1，e]时，求f(x)的最小值；
(2)当a＜1时，若存在x1∈[e，e2]，使得对任意的x2∈[－2,0]，f(x1)＜g(x2)恒成立，求a的取值范围．
解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝eq\f(?x－1??x－a?,x2).
①若a≤1，当x∈[1，e]时，f′(x)≥0，
f(x)在[1，e]上单调递增，f(x)min＝f(1)＝1－a.
②若1＜a＜e，
当x∈[1，a]时，f′(x)≤0，f(x)单调递减；
当x∈[a，e]时，f′(x)≥0，f(x)单调递增．
所以f(x)min＝f(a)＝a－(a＋1)lna－1.
③若a≥e，当x∈[1，e]时，f′(x)≤0，f(x)在[1，e]上单调递减，f(x)min＝f(e)＝e－(a＋1)－eq\f(a,e).
综上，当a≤1时，f(x)min＝1－a；
当1＜a＜e时，f(x)min＝a－(a＋1)lna－1；
当a≥e时，f(x)min＝e－(a＋1)－eq\f(a,e).
(2)由题意知f(x)(x∈[e，e2])的最小值小于g(x)(x∈[－2,0])的最小值．
由(1)知f(x)在[e，e2]上单调递增，
所以f(x)min＝f(e)＝e－(a＋1)－eq\f(a,e)，
又g′(x)＝(1－ex)x，
所以当x∈[－2,0]时，g′(x)≤0，g(x)单调递减，
则g(x)min＝g(0)＝1，
所以e－(a＋1)－eq\f(a,e)＜1，解得a＞eq\f(e2－2e,e＋1)，
所以a的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e2－2e,e＋1)，1)).
4．(15分)已知函数f(x)＝lneq\f(x,2－x)＋ax＋b(x－1)3.
(1)若b＝0，且f′(x)≥0，求a的最小值；
(2)证明：曲线y＝f(x)是中心对称图形；
(3)若当且仅当1x2时f(x)－2，求b的取值范围．
解：(1)当b＝0时，f(x)＝lneq\f(x,2－x)＋ax，其中x∈(0