课时分层作业(二十五)
(本试卷共97分．单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分．)
一、单项选择题
1．设α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，若cosβ＝－eq\f(1,3)，sin(α＋β)＝eq\f(7,9)，则sinα的值为()
A．eq\f(1,27) B．eq\f(5,27)
C．eq\f(1,3) D．eq\f(23,27)
C[由cosβ＝－eq\f(1,3)，sin(α＋β)＝eq\f(7,9)，可得sinβ＝eq\f(2\r(2),3)，cos(α＋β)＝－eq\f(4\r(2),9)，所以sinα＝sin[(α＋β)－β]＝eq\f(7,9)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4\r(2),9)))×eq\f(2\r(2),3)＝eq\f(1,3).]
2．(2021·全国乙卷)cos2eq\f(π,12)－cos2eq\f(5π,12)＝()
A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(3),3)
C．eq\f(\r(2),2) D．eq\f(\r(3),2)
D[因为coseq\f(5π,12)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(5π,12)))＝sineq\f(π,12)，
所以cos2eq\f(π,12)－cos2eq\f(5π,12)＝cos2eq\f(π,12)－sin2eq\f(π,12)
＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,12)))＝coseq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2).故选D.]
3．(2025·泰安模拟)若coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2α))－4sin2α＝－2，则tan2α＝()
A．－2 B．－eq\f(1,2)
C．2 D．eq\f(1,2)
C[由coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2α))－4sin2α＝－2，
得－sin2α－4sin2α＝－2，即eq\f(2sinαcosα＋4sin2α,sin2α＋cos2α)＝2，即eq\f(2tanα＋4tan2α,tan2α＋1)＝2，
所以2tanα＋4tan2α＝2tan2α＋2，
所以tanα＝1－tan2α，
则tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝2.
故选C．]
4．(2022·新高考Ⅱ卷)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝2eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))sinβ，则()
A．tan(α－β)＝1 B．tan(α＋β)＝1
C．tan(α－β)＝－1 D．tan(α＋β)＝－1
C[法一：设β＝0，则sinα＋cosα＝0，取α＝eq\f(3π,4)，排除A，B；
再取α＝0，则sinβ＋cosβ＝2sinβ，取β＝eq\f(π,4)，排除D.故选C．
法二：由sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋β＋\f(π,4)))＝eq\r(2)sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＋β))＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))cosβ＋eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))sinβ，
故eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))cosβ＝eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))·sinβ，
故sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))cosβ－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))sinβ＝0，即sineq\b\lc\(\rc\)(\