课时分层作业(三十四)
(本试卷共77分．单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分．)
一、单项选择题
1．(2025·滨州模拟)已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－1，λ)，若a⊥b，则实数λ＝()
A．eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)
C．－2 D．2
A[平面向量a＝(1,2)，b＝(－1，λ)，由a⊥b，得a·b＝－1＋2λ＝0，所以λ＝eq\f(1,2).故选A．]
2．已知向量a，b的夹角为eq\f(π,6)，且|a|＝2，|b|＝1，则a·(b－a)＝()
A．eq\r(3)－4 B．3eq\r(3)－4
C．－2 D．1
A[a·(b－a)＝a·b－a2＝2×1×coseq\f(π,6)－22＝eq\r(3)－4.故选A．]
3．(2023·北京高考)已知向量a，b满足a＋b＝(2,3)，a－b＝(－2,1)，则|a|2－|b|2＝()
A．－2 B．－1
C．0 D．1
B[向量a，b满足a＋b＝(2,3)，a－b＝(－2,1)，所以|a|2－|b|2＝(a＋b)·(a－b)＝2×(－2)＋3×1＝－1.故选B．]
4．如图，在菱形ABCD中，若AC＝4，则eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝()
A．8 B．－8
C．4 D．－4
B[法一：eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AC,\s\up6(→))))·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))))cos∠CAB，因为四边形ABCD为菱形，所以2AO＝AC＝4，且AC⊥BO，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))))cos∠CAB＝AO＝2，所以eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－4)×2＝－8.故选B．
法二：建系如图所示，由AC＝4，可知A(－2，0)，C(2,0)，设B(0，－b)，则eq\o(CA,\s\up6(→))＝(－4,0)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，－b)，
所以eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝－8.
故选B．]
5．(2024·新高考Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|＝()
A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(2),2)
C．eq\f(\r(3),2) D．1
B[因为(b－2a)⊥b，所以(b－2a)·b＝0，
即b2＝2a·b.又因为|a|＝1，|a＋2b|＝2，
所以1＋4a·b＋4b2＝1＋6b2＝4，解得|b|＝eq\f(\r(2),2).故选B．]
6．两个粒子A，B从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为sA＝(4,3)，sB＝(－2,6)，则sB在sA上的投影向量的长度为()
A．10 B．eq\f(\r(10),2)
C．eq\f(\r(10),10) D．2
D[设sB与sA的夹角为θ，
则cosθ＝eq\f(sB·sA,|sB|·|sA|)＝eq\f(10,2\r(10)×5)＝eq\f(\r(10),10)，
所以sB在sA上的投影向量的长度为||sB|cosθ|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－2\r(10),10)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6\r(10),10)))2)＝2.故选D.]
7．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a＋b＝(2eq\r(2)，1)，则|3a＋b|＝()
A．2eq\r(2) B．eq\r(15)
C．3eq\r(2) D．5
D[因为|a＋b|＝eq\r(?2\r(2)?2＋12)＝3，即|a＋b|＝|a|＋|b|，则a，b同向，所以|3a＋b|＝3|a|＋|b|＝5.故选D.]
8．已知向量a＝(2，m)，b＝(3,1)，若向量a，b的夹角是锐角，则m的取值范围是()
A．(－6，＋∞)
B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，＋∞))
C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－6，\f(2,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\