课时分层作业(三十一)
(本试卷共82分．单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分．)
一、单项选择题
1．如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距500km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从A点起飞以后，就沿与原来的飞行方向AB成12°角的方向飞行，飞行到中途C点．再沿与原来的飞行方向AB成18°角的方向继续飞行到终点B点，这样飞机的飞行路程比原来的路程500km大约多飞了(sin12°≈0.21，sin18°≈0.31)()
A．10km B．20km
C．30km D．40km
B[在△ABC中，由A＝12°，B＝18°，得C＝150°，
由正弦定理得eq\f(500,sin150°)＝eq\f(BC,sin12°)＝eq\f(AC,sin18°)，
所以eq\f(500,\f(1,2))≈eq\f(BC,0.21)≈eq\f(AC,0.31)，
所以AC＝310km，BC＝210km，
所以AC＋BC－AB＝20(km)．]
2．如图，航空测量的飞机航线和山顶在同一铅垂平面内，已知飞机飞行的海拔为10000m，速度为50m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔大约为(eq\r(2)≈1.4，eq\r(3)≈1.7)()
A．7350m B．2650m
C．3650m D．4650m
B[如图，设飞机的初始位置为点A，经过420s后的位置为点B，山顶为点C，作CD⊥AB于点D，
则∠BAC＝15°，∠CBD＝45°，所以∠ACB＝30°，
在△ABC中，AB＝50×420＝21000，
由正弦定理得eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(BC,sin∠BAC)，
则BC＝eq\f(21000,\f(1,2))×sin15°＝10500(eq\r(6)－eq\r(2))，因为CD⊥AB，所以CD＝BCsin45°＝10500(eq\r(6)－eq\r(2))×eq\f(\r(2),2)＝10500(eq\r(3)－1)≈7350，所以山顶的海拔大约为10000－7350＝2650(m)．故选B.]
3．(2025·德州模拟)火箭造桥技术是我国首创在陡峭山区建桥的一种方法．由两枚火箭牵引两条足够长的绳索精准的射入对岸的指定位置，是建造高空悬索桥的关键．位于湖北省的四渡河大桥就是首次用这种技术建造的悬索桥．工程师们需要测算火箭携带的引导索的长度(引导索比较重，过长会影响火箭发射)，如图，已知工程师们在建桥处C看对岸目标点D的正下方地面上一高为h的标志物AB，从点C处看点A和点B的俯角分别为α，β，则一枚火箭应至少携带引导索CD的长度为()
A．eq\f(hsinαcosβ,sin?α－β?) B．eq\f(hcosαcosβ,sinβ)
C．eq\f(hcosαcosβ,sin?α－β?) D．eq\f(hcosαsinβ,cosβ)
C[在Rt△BCD中，BC＝eq\f(CD,cos∠BCD)＝eq\f(CD,cosβ)，在△ABC中，可知AB＝h，∠ACB＝α－β，A＝eq\f(π,2)－α，
由正弦定理可得eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(BC,sinA)，
即eq\f(h,sin?α－β?)＝eq\f(\f(CD,cosβ),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)))＝eq\f(CD,cosαcosβ)，
所以CD＝eq\f(hcosαcosβ,sin?α－β?).故选C．]
4．奏唱一遍中华人民共和国国歌需要46s．某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15°看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10eq\r(2)m(如图所示)，旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，则升旗手升旗的速度应为()
A．eq\f(3\r(3),23)m/s B．eq\f(5\r(3),23)m/s
C．eq\f(7\r(3),23)m/s D．eq\f(8\r(3),23)m/s
B[如图所示，依题意知∠AEC＝45°，∠ACE＝180°－60°－15°＝105°，
所以∠EAC＝180°－45°－105°＝30°.
在△AEC中，由正弦定理知eq\f(CE,sin∠EAC)＝eq\f(AC,sin∠AEC)，
所以AC＝eq\f(10\r(2),sin30°)×sin4