课时分层作业(三十八)
(本试卷共92分．单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分．)
一、单项选择题
1．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝－7，S6＝－63，则公比q＝()
A．－2 B．2
C．－eq\f(1,2) D．eq\f(1,2)
B[法一：由等比数列的性质，得q3＝eq\f(S6－S3,S3)＝eq\f(－63－?－7?,－7)＝8，所以q＝2.故选B．
法二：由题得q≠1，因为等比数列{an}的前n项和为Sn，S3＝－7，S6＝－63，
所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S3＝\f(a1?1－q3?,1－q)＝－7，,S6＝\f(a1?1－q6?,1－q)＝－63，))
解得q＝2.故选B．]
2．(2020·全国Ⅰ卷)设{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8＝()
A．12 B．24
C．30 D．32
D[法一：设等比数列{an}的公比为q，所以eq\f(a2＋a3＋a4,a1＋a2＋a3)＝eq\f(?a1＋a2＋a3?q,a1＋a2＋a3)＝q＝2，由a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝a1(1＋2＋22)＝1，解得a1＝eq\f(1,7)，所以a6＋a7＋a8＝a1(q5＋q6＋q7)＝eq\f(1,7)×(25＋26＋27)＝eq\f(1,7)×25×(1＋2＋22)＝32.故选D.
法二：令bn＝an＋an＋1＋an＋2(n∈N*)，则bn＋1＝an＋1＋an＋2＋an＋3.设数列{an}的公比为q，则eq\f(bn＋1,bn)＝eq\f(an＋1＋an＋2＋an＋3,an＋an＋1＋an＋2)＝eq\f(?an＋an＋1＋an＋2?q,an＋an＋1＋an＋2)＝q，所以数列{bn}为等比数列，由题意知b1＝1，b2＝2，所以等比数列{bn}的公比q＝2，所以bn＝2n－1，所以b6＝a6＋a7＋a8＝25＝32.故选D.]
3．已知{an}是等差数列，a1＝3，a4＝12，在数列{bn}中，b1＝4，b4＝20，若{bn－an}是等比数列，则b2025的值为()
A．6075 B．22024
C．22024＋6075 D．22024－6075
C[设等差数列{an}的公差为d，{bn－an}的公比为q，
则由题意可得，a4＝a1＋3d，即12＝3＋3d，解得d＝3，
所以an＝3＋(n－1)×3＝3n.根据已知又有b1－a1＝1，b4－a4＝8，
则8＝1·q3，得q＝2，所以bn－an＝1·2n－1，进而bn＝2n－1＋3n，
故b2025＝22024＋6075.故选C．]
4．(2025·潍坊模拟)已知数列{an}满足a1＝0，a2＝1.若数列{an＋an＋1}是公比为2的等比数列，则a2024＝()
A．eq\f(22023＋1,3) B．eq\f(22024＋1,3)
C．21012－1 D．21011－1
A[依题意，a1＋a2＝1，an＋an＋1＝2n－1，当n≥2时，an－1＋an＝2n－2，则an＋1－an－1＝2n－2，
所以a2024＝a2＋(a4－a2)＋(a6－a4)＋…＋(a2024－a2022)＝1＋2＋23＋25＋…＋22021
＝1＋eq\f(2?1－41011?,1－4)＝eq\f(22023＋1,3).
故选A．]
5．(2023·天津高考)已知{an}为等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，an＋1＝2Sn＋2，则a4的值为()
A．3 B．18
C．54 D．152
C[因为{an}为等比数列，an＋1＝2Sn＋2，
所以a2＝2S1＋2＝2a1
a3＝2S2＋2＝2(a1＋2a1＋2)＋2＝6a
由等比数列的性质可得，aeq\o\al(2,2)＝a1·a3，
即(2＋2a1)2＝(6a1＋6)·a
所以a1＝2或a1＝－1(舍)，
所以a2＝6，q＝3，
则a4＝a1·q3＝2×33＝54.故选C．]
6．(2023·新高考Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝()
A．120 B．85
C．－85 D．－120
C[法一：设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，由题意易知q≠1，则
eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a1?1－q4?,1－q)＝－5，,\f(a1?1－q6?,1－q)＝21×\f(a1?1－q2?,1－q)，))化简整理得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(