课时分层作业(三十五)
(本试卷共73分．单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分．)
一、单项选择题
1．(2024·新高考Ⅱ卷)已知z＝－1－i，则|z|＝()
A．0 B．1
C．eq\r(2) D．2
C[因为z＝－1－i，所以|z|＝eq\r(?－1?2＋?－1?2)＝eq\r(2).故选C．]
2．(2025·德州模拟)已知复数z满足z－i(2＋z)＝0，则z＝()
A．－1－i B．－1＋i
C．1＋i D．1－i
B[由z－i(2＋z)＝0，可得(1－i)z＝2i，所以z＝eq\f(2i,1－i)＝eq\f(2i?1＋i?,?1－i??1＋i?)＝－1＋i.故选B．]
3．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)，i是虚数单位，若z－eq\x\to(z)＝2eq\r(3)i，则复数z的虚部为()
A．eq\r(3) B．2eq\r(3)
C．eq\r(3)i D．2eq\r(3)i
A[z－eq\x\to(z)＝2bi＝2eq\r(3)i，解得b＝eq\r(3).故选A．]
4．已知i是虚数单位，则化简eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))2025的结果为()
A．i B．－i
C．－1 D．1
A[因为eq\f(1＋i,1－i)＝eq\f(?1＋i?2,?1－i??1＋i?)＝eq\f(1＋2i＋i2,2)＝i，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))2025＝i2025＝i.]
5．若复数z＝eq\f(a＋i,3－i)(其中a∈R，i为虚数单位)为纯虚数，则复数z－1在复平面内对应的点位于()
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
B[依题意，z＝eq\f(a＋i,3－i)＝eq\f(?a＋i??3＋i?,?3－i??3＋i?)＝eq\f(3a－1,10)＋eq\f(?a＋3?i,10)，
由z为纯虚数，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－1＝0，,a＋3≠0，))解得a＝eq\f(1,3)，复数z－1＝－1＋eq\f(1,3)i，
所以复数z－1在复平面内对应点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,3)))，位于第二象限．
故选B．]
6．(2025·济南模拟)已知复数z1，z2满足2|z1|＝|z2|＝|2z1－z2|＝2，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(z1＋\f(1,2)z2))＝()
A．1 B．eq\r(3)
C．2 D．2eq\r(3)
B[设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则2eq\r(a2＋b2)＝eq\r(c2＋d2)＝eq\r(?2a－c?2＋?2b－d?2)＝2，
所以a2＋b2＝1，c2＋d2＝4,8－4(ac＋bd)＝4，即ac＋bd＝1，
则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(z1＋\f(1,2)z2))＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)c))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,2)d))2)
＝eq\r(a2＋b2＋\f(1,4)?c2＋d2?＋ac＋bd)
＝eq\r(1＋\f(1,4)×4＋1)＝eq\r(3).
故选B．]
二、多项选择题
7．下列命题正确的是()
A．复数z＝－2－i的虚部为－1
B．设z为复数，(1－i)z＝1＋i，则|eq\x\to(z)|＝2
C．若复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数，则a＝0，b≠0
D．复数2－i在复平面内对应的点在第二象限
AC[对于选项A：复数z＝－2－i的虚部为－1，故A正确；
对于选项B：因为(1－i)z＝1＋i，则z＝eq\f(1＋i,1－i)＝eq\f(?1＋i?2,?1－i??1＋i?)＝i，
所以|eq\x\to(z)|＝|－i|＝1，故B错误；
对于选项C：若复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数，则a＝0，b≠0，故C正确；
对于选项D：复数2－i在复平面内对应点为(2，－1)，在第四象限，故D错误．
故选AC．]
8．已知复数z1，z2，则下列说法中正确的是()
A．|z1z2|＝|z1|·|z2|
B．|z1＋z2|＝|z1|＋|z2|
C．“z1z2∈R”是“z1＝eq\x\to(z)2”的必要不充分条件
D．“|z1|＝|z2|”是“zeq\o\al(2,1)＝zeq\