课时分层作业(四十二)
(本试卷共83分．单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分．)
一、单项选择题
1．若棱长为2eq\r(3)的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()
A．12π B．24π
C．36π D．144π
C[由题意知，正方体的体对角线就是球的直径，
所以2R＝eq\r(?2\r(3)?2＋?2\r(3)?2＋?2\r(3)?2)＝6，
所以R＝3，所以S球＝4πR2＝36π.]
2．某同学在《通用技术》的实践课上，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4eq\r(3)的正方体的六个面所截后剩余的部分(球心与正方体的中心重合)．若其中一个截面圆的周长为4π，则该球的半径是()
A．2 B．4
C．2eq\r(6) D．4eq\r(6)
B[设截面圆半径为r，球的半径为R，则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半即2eq\r(3).根据截面圆的周长可得4π＝2πr，得r＝2，故由题意知R2＝r2＋(2eq\r(3))2，即R2＝22＋(2eq\r(3))2＝16，所以R＝4.故选B．]
3．(2025·烟台模拟)如图1，在边长为4的正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，将△AED，△BEF，△DCF分别沿DE，EF，DF折起，使得A，B，C三点重合于点A′，如图2.若三棱锥A′-EFD的所有顶点均在球O的球面上，则球O的体积为()
A．eq\r(6)π B．6π
C．8π D．8eq\r(6)π
D[由题意可得A′D⊥A′E，A′D⊥A′F，A′E⊥A′F，且A′E＝2，A′F＝2，A′D＝4，
所以三棱锥D-A′EF可补成一个长方体，
如图所示．
则三棱锥D-A′EF的外接球即为长方体的外接球．
设长方体的外接球的半径为R，可得2R＝eq\r(22＋22＋42)，所以R＝eq\r(6)，
所以外接球的体积为V＝eq\f(4,3)πR3＝8eq\r(6)π.
故选D.]
4．如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O
A．eq\f(\r(6)π,6) B．eq\f(π,3)
C．eq\f(π,6) D．eq\f(\r(3)π,3)
C[平面ACD1截球O的截面为△ACD1的内切圆，
因为正方体的棱长为1，
所以AC＝CD1＝AD1＝eq\r(2).
所以内切圆半径r＝tan30°·AE＝eq\f(\r(3),3)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(6),6).
所以S＝πr2＝π×eq\f(1,6)＝eq\f(π,6).故选C．]
5．(2025·泰安模拟)已知四面体ABCD的各顶点都在同一球面上，若AB＝BC＝CD＝DA＝BD＝4eq\r(3)，平面ABD⊥平面BCD，则该球的表面积是()
A．40π B．80π
C．100π D．160π
B[如图，记球心为O，△BCD的外接圆圆心为O1，△ABD的外接圆圆心为O2，BD的中点为E.
因为AB＝AD，所以AE⊥BD.
因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AE?平面ABD，
所以AE⊥平面BCD.
由球的性质可知，OO1⊥平面BCD，
所以OO1∥AE.同理OO2∥CE，所以四边形OO1EO2为矩形．
因为AE＝CE＝eq\r(AB2－BE2)＝6，所以O1E＝O2E＝2，O1C＝4，
所以OC＝eq\r(42＋22)＝2eq\r(5)，
所以外接球的表面积为4π×(2eq\r(5))2＝80π.
故选B．]
6．已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上，PB＝PC＝2eq\r(5)，AB＝AC＝4，PA＝BC＝2，则球O的表面积为()
A．eq\f(316,15)π B．eq\f(79,15)π
C．eq\f(158,5)π D．eq\f(79,5)π
A[如图，在三棱锥P-ABC中，AB2＋PA2＝20＝PB2，则PA⊥AB，同理PA⊥AC，
而AB∩AC＝A，AB，AC?平面ABC，因此PA⊥平面ABC．
在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝4，BC＝2，则cos∠ABC＝eq\f(\f(1,2)BC,AB)＝eq\f(1,4)，
sin∠ABC＝eq\r(1－cos2∠ABC)＝eq\f(\r(15),4).
令△ABC的外接圆圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，O1A＝eq\f(1,2)·eq\f(AC,sin∠ABC)＝eq\f(8,\r(15))，
有OO1∥PA．取PA的中点D，连接OD，OA，则有OD⊥PA，又O1A?平面ABC
即O1A⊥PA
从