课时分层作业(四十三)
(本试卷共92分．单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分．)
一、单项选择题
1．(2025·日照模拟)已知l，m是两条不同的直线，α为平面，m?α，下列说法中正确的是()
A．若l与α不平行，则l与m一定是异面直线
B．若l∥α，则l与m可能垂直
C．若l∩α＝A，且A?m，则l与m可能平行
D．若l∩α＝A，且l与α不垂直，则l与m一定不垂直
B[对于选项A，若l与α不平行，则l与α的位置关系有相交或直线在平面内，
且m?α，则l与m的位置关系有平行、相交或异面，故A错误；
对于选项B，若l∥α，则l与m可能垂直，
如图所示，l∥l′，l′?α，l′⊥m，可知l⊥m，故B正确；
对于选项C，若l∩α＝A，且A?m，m?α，则l与m异面，故C错误；
对于选项D，若l∩α＝A，且l与α不垂直，则l与m可能垂直，
如图，取α为平面ABCD，l＝AD1，m＝AB，
符合题意，但l⊥m，故D错误．故选B．]
2．在三棱锥A-BCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，若EF∩HG＝P，则点P()
A．一定在直线BD上
B．一定在直线AC上
C．在直线AC或BD上
D．不在直线AC上，也不在直线BD上
B[如图所示，
因为EF?平面ABC，HG?平面ACD，EF∩HG＝P，所以P∈平面ABC，P∈平面ACD.
又因为平面ABC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC．]
3．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝AA1，∠BAC＝60°，则直线AB1与BC
A．eq\f(\r(2),2) B．eq\f(\r(3),2)
C．eq\f(\r(2),4) D．0
C[如图，连接AC1，
因为BC∥B1C1，所以直线AB1与BC所成的角即为∠AB1C
设AB＝a，易得AB1＝eq\r(2)a，AC1＝eq\r(2)a，B1C1＝a，则由余弦定理的推论知，cos∠AB1C1＝eq\f(AB\o\al(2,1)＋B1C\o\al(2,1)－AC\o\al(2,1),2AB1·B1C1)＝eq\f(2a2＋a2－2a2,2\r(2)a·a)＝eq\f(\r(2),4).故选C．]
4．(2023·上海春季高考)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是边A1C1上的动点，则下列直线中，始终与直线
A．DD1 B．AC
C．AD1 D．B1
B[对于A，当P是A1C1的中点时，BP与DD1
对于B，根据异面直线的定义知，BP与AC是异面直线；
对于C，当点P与点C1重合时，BP与AD1是平行直线；
对于D，当点P与点C1重合时，BP与B1C
故选B．]
5．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，DB的中点，则异面直线EF与AD1
A．eq\r(2) B．eq\f(\r(2),2)
C．eq\f(\r(3),3) D．eq\r(3)
B[如图，连接BD1，则EF∥BD1，所以∠AD1B为异面直线EF与AD1所成的角．因为
eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AB⊥AD，,AB⊥AA1，))且AD∩AA1＝A，所以AB⊥平面ADD1A1.又AD1?平面ADD1A1，所以AB⊥AD1，所以△BAD1为直角三角形，所以tan∠BD1A＝eq\f(AB,AD1)＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2).故选B．]
6．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝BC＝AC＝AA1，则异面直线AB1与BC1
A．eq\f(\r(3),2) B．eq\f(1,2)
C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,4)
D[如图，将该几何体补成一个直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，由题易得底面ABCD为菱形，且△ABC
连接DC1，BD，易得AB1∥DC1，所以∠BC1D(或其补角)是异面直线AB1与BC1所成的角．
设AB＝1，则BC1＝DC1＝eq\r(2)，
BD＝2eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\r(3)，
所以cos∠BC1D＝eq\f(?\r(2)?2＋?\r(2)?2－?\r(3)?2,2×?\r(2)?2)＝eq\f(1,4).
故选D.]
7．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．如图，若AB，CD都是直角圆锥SO底面圆的直径，且∠AOD＝eq\f(π,3)，则异面直线SA与BD所成角的余弦值为()
A．eq\f(1,3) B．eq\f(\r(2),4)
C．eq\f(\r(6)