课时分层作业(五十四)
(本试卷共87分．单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分．)
一、单项选择题
1．已知动点A(x，y)满足等式eq\r(?x＋3?2＋y2)＝8－eq\r(?x－3?2＋y2)，则点A的轨迹方程是()
A．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1 B．eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,3)＝1
C．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1 D．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,7)＝1
D[因为动点A(x，y)满足等式eq\r(?x＋3?2＋y2)＝8－eq\r(?x－3?2＋y2)，
表示点A到点F1(－3,0)和F2(3,0)的距离之和为8，且|F1F2|8，
所以点A的轨迹是以F1(－3,0)，F2(3,0)为焦点的椭圆，
其中a＝4，c＝3，b2＝7，
所以点A的轨迹方程是eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,7)＝1.故选D.]
2．(2023·新高考Ⅰ卷)设椭圆C1：eq\f(x2,a2)＋y2＝1(a＞1)，C2：eq\f(x2,4)＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e2＝eq\r(3)e1，则a＝()
A．eq\f(2\r(3),3) B．eq\r(2)
C．eq\r(3) D．eq\r(6)
A[由已知得e1＝eq\f(\r(a2－1),a)，e2＝eq\f(\r(4－1),2)＝eq\f(\r(3),2)，因为e2＝eq\r(3)e1，所以eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)·eq\f(\r(a2－1),a)，解得a＝eq\f(2\r(3),3).故选A.]
3．曲线eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1与曲线eq\f(x2,9－k)＋eq\f(y2,25－k)＝1(k＜9且k≠0)的()
A．长轴长相等 B．短轴长相等
C．焦距相等 D．离心率相等
C[曲线eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1表示焦点在x轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为eq\f(4,5)，焦距为8的椭圆．
曲线eq\f(x2,9－k)＋eq\f(y2,25－k)＝1(k＜9且k≠0)表示焦点在y轴上，长轴长为2eq\r(25－k)，短轴长为2eq\r(9－k)，焦距为2eq\r(?25－k?－?9－k?)＝8，离心率为eq\f(4,\r(25－k))的椭圆．
故选C.]
4．已知F1，F2是椭圆C：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1的两个焦点，点M，N在C上，若|MF2|＋|NF2|＝6，则|MF1|·|NF1|的最大值为()
A．9 B．20
C．25 D．30
C[根据椭圆的定义可得
|MF1|＋|MF2|＝2a＝8，|NF1|＋|NF2|＝8，因为|MF2|＋|NF2|＝6，所以8－|MF1|＋8－|NF1|＝6，即|MF1|＋|NF1|＝10≥2eq\r(|MF1|·|NF1|)，当且仅当|MF1|＝|NF1|＝5时，等号成立，
所以|MF1|·|NF1|≤25，故|MF1||NF1|的最大值为25.故选C.]
5．(2025·济南模拟)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，点M，N是椭圆C上关于y轴对称的两点．若直线AM，AN的斜率之积为eq\f(2,3)，则C的离心率为()
A．eq\f(\r(3),2) B．eq\f(\r(2),2)
C．eq\f(1,2) D．eq\f(\r(3),3)
D[由题意，椭圆C的左顶点为A(－a,0)，
如图，因为点M，N是椭圆C上关于y轴对称的两点，可设M(x0，y0)，则N(－x0，y0)，
所以kAM＝eq\f(y0,x0＋a)，kAN＝eq\f(y0,a－x0)，可得
kAMkAN＝eq\f(y0,x0＋a)·eq\f(y0,a－x0)＝eq\f(y\o\al(2,0),a2－x\o\al(2,0))＝eq\f(2,3).
又因为eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1，即yeq\o\al(2,0)＝eq\f(b2?a2－x\o\al(2,0)?,a2)，
代入可得eq\f(b2,a2)＝eq\f(2,3)，所以离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\r(1－\f(2,3))＝eq\f(\r(3),3).故选D.
]
6．加斯帕尔·蒙日是法国著名的几何学家．如图，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，