课时分层作业(七十二)
(本试卷共75分．)
1．(15分)(2025·济南模拟)为调查我校学生的用电情况，学校后勤部门抽取了100间学生宿舍在某月的用电量，发现每间宿舍的用电量都在50kW·h到350kW·h之间，将其分组为[50,100)，[100,150)，[150,200)，[200,250)，[250,300)，[300,350]，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)为降低能源损耗，节约用电，规定：当每间宿舍的月用电量不超过200kW·h时，按每千瓦时0.5元收取费用；当每间宿舍的月用电量超过200kW·h时，超过部分按每千瓦时1元收取费用．用t(单位：kW·h)表示某宿舍的月用电量，用y(单位：元)表示该宿舍的月用电费用，求y与t之间的函数关系式．
(2)在抽取的100间学生宿舍中，月用电量在区间[200,250)内的学生宿舍有多少间？
解：(1)根据题意，得
当50≤t≤200时，月用电费用为y＝0.5t；
当t200时，月用电费用为y＝200×0.5＋(t－200)×1＝t－100.
综上，宿舍的月用电费用为
y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.5t，50≤t≤200，,t－100，t200.))
(2)因为月用电量在[200,250)内的频率为50x＝1－(0.0060＋0.0036＋0.0024＋0.0024＋0.0012)×50＝1－0.0156×50＝0.22，所以月用电量在[200,250)内的宿舍有100×0.22＝22(间)．
2．(15分)某学校为了解老师对《中华人民共和国民法典》知识的认知程度，针对不同年龄的老师举办了一次《中华人民共和国民法典》知识竞答，满分100分(95分及以上为认知程度高)，结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组：[20,25)，第二组：[25,30)，第三组：[30,35)，第四组：[35,40)，第五组：[40,45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人．
(1)根据频率分布直方图，估计这m人年龄的第75百分位数；
(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取40人，担任《中华人民共和国民法典》知识的宣传使者．
①若有甲(年龄23)、乙(年龄43)2人已确定入选宣传使者，现计划从第一组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人恰有一人被选上的概率；
②若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和1，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和2，据此估计这m人中35～45岁所有人的年龄的方差．
解：(1)不妨设第75百分位数为a，
此时5×(0.01＋0.07＋0.06)＋(a－35)×0.04＝0.75，解得a＝36.25.
(2)由条件可知，第一、二、三、四、五组应分别抽取2人，14人，12人，8人，4人．
①第一组应抽取2人，记为A，甲，
第五组抽取4人，记为B，C，D，乙，
此时对应的样本空间为Ω＝{(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，甲)，(A，乙)，(B，C)，(B，D)，(B，甲)，(B，乙)，(C，甲)，(C，乙)，(C，D)，(D，甲)，(D，乙)，(甲，乙)}，共15个样本点，
记“甲、乙两人恰有一人被选上”为事件M，
此时M＝{(A，甲)，(A，乙)，(B，甲)，(B，乙)，(C，甲)，(C，乙)，(D，甲)，(D，乙)}，共8个样本点，则甲、乙两人恰有一人被选上的概率P(M)＝eq\f(8,15).
②设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为eq\x\to(x)，eq\x\to(y)，方差分别为s2，s′2，
此时eq\x\to(x)＝36，eq\x\to(y)＝42，s2＝1，s′2＝2，
设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为eq\x\to(z)，方差为s″2，
此时eq\x\to(z)＝eq\f(8\x\to(x),12)＋eq\f(4\x\to(y),12)＝eq\f(8×36＋4×42,12)＝38，
s″2＝eq\f(8[s2＋?\x\to(x)－\x\to(z)?2]＋4[s′2＋?\x\to(y)－\x\to(z)?2],12)＝eq\f(8[1＋?36－38?2]＋4[2＋?42－38?2],12)＝eq\f(28,3)，故这m人中35～45岁所有人的年龄的方差为eq\f(28,3).
3．(15分)马尔可夫链是因俄国数学家安德雷·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第n＋1次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，与第n－1，n－2，n－3，…次状态是“没有任何关系的”．现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球．从两个盒子中各任取一个球交换，重复