;;[考试要求]1.能用向量的方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题.2.掌握空间几何体中的探索性及翻折问题的求解方法．;;2．点P到平面α的距离;[常用结论]

1．平行线间的距离可以转化为点到直线的距离．

2．线面距离、面面距离都可以转化为点到平面的距离．;一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)点A到平面α的距离是点A与α内任意一点的线段的最小值．()

(2)点到直线的距离也就是该点与直线上任意一点连线的长度．()

(3)若直线l平行于平面α，则直线l上各点到平面α的距离相等．()

(4)若直线l上两点到平面α的距离相等，则l平行于平面α.();二、教材经典衍生

(人教A版选择性必修第一册P35练习T2改编)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点，则：

(1)点B到直线AC1的距离为________；

(2)直线FC到平面AEC1的距离为________.;所以FC∥EC1.因为EC1?平面AEC1，FC?平面AEC1，

所以FC∥平面AEC1，

所以点F到平面AEC1的距离即为直线FC到平面AEC1的距离．;;所以OC2＋OA2＝AC2，所以OA⊥OC．

又PO∩OA＝O，PO?平面OPA，OA?平面OPA，

所以OC⊥平面OPA．又OC?平面OPC，

所以平面OPC⊥平面OPA．;(2)因为PO⊥平面OABC，OA⊥OC，所以以O为原点，

建立如图所示的空间直角坐标系．;求点到平面的距离的常用方法

(1)直接法：过点P作平面α的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度，该长度就是点P到平面α的距离．

(2)转化法：若点P所在的直线l平行于平面α，则转化为直线l上某一个点到平面α的距离来求．

(3)等体积法．;[跟进训练]

1．(1)四面体OABC满足∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，OA＝1，OB＝2，OC＝3，点D在棱OC上，且OC＝3OD，点G为△ABC的重心，则点G到直线AD的距离为();√;(1)A(2)BCD[(1)四面体OABC满足∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，即OA，OB，OC两两垂直，

以点O为原点，以射线OA，OB，OC的方向分别为x，

y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，

因为OA＝1，OB＝2，OC＝3，OC＝3OD，则;考点二立体几何中的探索性问题

[典例2]如图，三棱柱ABC-A1B1C1的底面是等边三

角形，平???ABB1A1⊥平面ABC，A1B⊥AB，AC＝2，

∠A1AB＝60°，O为AC的中点．;解：(1)证明：因为△ABC是等边三角形，O是AC的中点，所以AC⊥OB，

因为平面ABB1A1⊥平面ABC，平面ABB1A1∩平面ABC＝AB，A1B⊥AB，A1B?平面ABB1A1，所以A1B⊥平面ABC，因为AC?平面ABC，所以A1B⊥AC，

因为AC⊥OB，A1B∩OB＝B，A1B，OB?平面A1BO，所以AC⊥平面A1BO.;(2)存在，线段CC1的中点P满足题意．

理由如下：

因为A1B⊥平面ABC，OB⊥AC，以O为原点，

OA，OB所在直线分别为x轴、y轴，过点O作

Oz∥A1B，以Oz所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，;(1)对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等．

(2)对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数．;[跟进训练]

2．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边

长为2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA＝

2，E为PD的中点．

(1)求证：PA⊥平面ABCD.

(2)求PC与平面ACE所成角的正弦值．;解：(1)证明：因为四边形ABCD为正方形，

所以BC⊥AB，CD⊥AD.

因为PB⊥BC，BC⊥AB，PB∩AB＝B，PB，AB?平面PAB，

所以BC⊥平面PAB，

因为PA?平面PAB，所以PA⊥BC．

因为PD⊥CD，CD⊥AD，PD∩AD＝D，PD，AD?平面PAD，

所以CD⊥平面PAD，

因为PA?平面PAD，所以PA⊥CD.

因为BC∩CD＝C，BC，DC?平面ABCD，

所以PA⊥平面ABCD.;(2)由(1)知PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，不妨以点A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，C(2,2,0)，P(0,0,2)，E(0,1,1)．

;考点三立体几何中的翻折问题;所以EF⊥PE，EF⊥DE.;又