第一章集合、常用逻辑用语、不等式

第4课时基本不等式

[考试要求]1.了解基本不等式的推导过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题.3.理解基本不等式在实际问题中的应用．

链接教材·夯基固本(1)基本不等式成立的条件：___________.(2)等号成立的条件：当且仅当_____时取等号．(3)其中，_______叫做正数a，b的算术平均数，_____叫做正数a，b的几何平均数．a0，b0a＝b

2．利用基本不等式求最值已知x0，y0，则提醒：利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正、二定、三相等”．

[常用结论]几个重要的不等式

一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)××××

二、教材经典衍生1．(人教A版必修第一册P45例2改编)设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为()A．80 B．77C．81 D．82√

√

3．(多选)(人教A版必修第一册P46练习T2改编)若a，b∈R，则下列不等式成立的是()√√

4．(人教A版必修第一册P46例3(2)改编)一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，当这个矩形的长为________m，宽为________m时，菜园面积最大．

典例精研·核心考点考点一利用基本不等式求最值配凑法A．最大值0 B．最小值9C．最大值－3 D．最小值－3√

常数代换法

消元法[典例3]已知x0，y0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为______.6[法一(换元消元法)：由已知得x＋3y＝9－xy，因为x0，y0，

当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号，即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0，令x＋3y＝t，则t0且t2＋12t－108≥0，解得t≥6，即x＋3y的最小值为6.

1．利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式，常用手段有添加项、拆项、调整参数、分离参数等．

3．当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值．4．构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利用基本不等式，构造目标式的不等式求解．

[跟进训练]1．(1)(多选)下列函数中，函数的最小值为4的是()√(2)已知x0，y0，且xy＋x－2y＝4，则2x＋y的最小值是()A．4 B．5C．7 D．9√√

(3)令x－1＝m,2y－1＝n，则m0，n0且m＋n＝x－1＋2y－1＝1，

考点二基本不等式的常见变形应用[典例4](多选)若a＞0，b＞0，a＋b＝4，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是()√√√

基本不等式的常见变形

[跟进训练]2．(1)(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)若实数x，y满足x2＋y2－xy＝1，则()A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1√√

考点三基本不等式的实际应用[典例5](2025·泰安模拟)某水产公司拟在养殖室修建三个形状、大小完全相同的长方体育苗池，其平面图如图所示．每个育苗池的底面面积为200m2，深度为2m，育苗池的四周均设计为2m宽的甬路．设育苗池底面的一条边长为xm(10≤x≤20)，甬路的面积为Sm2.(1)求S与x之间的函数关系式；(2)已知育苗池四壁的造价为200元/m2，池底的造价为600元/m2，甬路的造价为100元/m2，若不考虑其他费用，求x为何值时，总造价最低，并求最低造价．

利用基本不等式解决实际问题的注意点(1)设变量时，一般把求最大值或最小值的变量定义为函数．(2)解题时，一定要注意变量的实际意义对变量取值范围的影响．(4)在实际问题中利用基本不等式求最值，必须指明等号成立的条件．

A．135 B．149C．165 D．195√

(2)某公司计划租地建仓库，已知每月土地费用与仓库到车站的距离成反比，每月货物的运输费用与仓库到车站的距离成正比．经测算，若在距离车站10km处建仓库，则每月的土地费用与运输费用分别为2万元和8万元．要使每月的两项费用之和最小，仓库和车站的距离应为()A．4km B．5kmC．6km D．7km√

(2)设仓库到车站距离为x，每月土地费用为y1，每月货物的运输费用为y2，

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