专题54二项分布和超几何分布
知识必备
1n重伯努利试验
（1）定义
我们把包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验也称为n次独立重复试验.
注：独立重复试验的条件：①每次试验在同样条件下进行；②每次试验是相互独立的；③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生.
（2）特征
i同一个伯努利试验重复做n次，显然，每次试验成功的概率是相同的；
ii各次试验的结果相互独立.
2二项分布
（1）定义
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p0p1，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为PX=k
X
0
1
?
k
?
n
p
C
C
?
C
?
C
如果随机变量X的分布列具有上面的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～Bn，p
显然容易发现，每个随机变量对应的概率恰好是二项式展开式，即Cn0p01pnCn1
注：i由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即n=1时的二项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式.
ii不难发现，二项分布是放回抽样问题，在每次试验中事件发生的概率是相同的.
（2）确定二项分布的步骤
①明确伯努利试验及事件A的意义，即每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生，确定事件A发生的概率p；
②确定重复试验的次数n，并判断各次试验中的事件是否相互独立的；
③设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数，则X～Bn，p
（3）二项分布的期望、方差
一般地，如果X～Bn，p，那么E
3超几何分布
（1）定义
一般地，假设一批产品共N件，其中有M件次品从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次函数，则X的分布列为PX=k=CM
一般情况下m=0，即
X
0
1
?
k
?
r
P
C
C
?
C
?
C
如果随机变量X的分布列具有上式形式，那么称随机变量X服从超几何分布列，记作H～N，n，M注：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的.
（2）确定超几何分布的步骤
①考察对象分两类，并已知各类对象的个数；
②从中抽取若干个个体，考察某类个体个数Y的概率分布.
③超几何分布的期望、方差
一般地，如果X～HN，n，M，那么E
④超几何分布和二项分布的区别与联系
i超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；
ii超几何分布是“不放回”抽取，在每次试验中事件发生的概率是不相同的；而二项分布是“有放回”抽取（独立重复），在每次试验中事件发生的概率是相同的.
iii超几何分布和二项分布的期望相同，当n远远小于N时，每抽取一次后，对N的影响很小，此时，超几何分布可以用二项分布近似.
典型例题
考点一二项分布
【例题1】设随机变量X～B5，1
【例题2】若随机变量X～B10，
APX=3=C1031
C期望E3X2=22 D方差
【例题3】已知随机变量X服从二项分布Bn，p，若EX
【例题4】设随机变量X～Bn，14，且D
【例题5】一射击测试中每入射击三次，每击中目标一次记10分，没有击中记0分，某人每次击中目标的概率为23
【例题6】从一个装有4个白球和3个红球的袋子中有放回地取球5次，每次取球1个，记X为取得红球的次数，则D
A157 B207
C2521 D6049
【例题7】高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形小木块（如图所示），并且每一排小木块数目都比上一排多一个，一排中各个小木块正好对准上面一排两个相邻小木块的正中央，从入口处放入一个直径略小于两个小木块间隔的小球，当小球从之间的间腙下落时，于是碰到下一排小木块，它将以相等的可能性向左或向右落下，若小球再通过间腙，又碰到下一排小木块如此继续下去，小球最后落入下方条状的格子内，则小球落到第（5）个格子的概率是（）
A532 B516
C316 D332
【例题8】某社区组织开展“扫黑除恶”宣传活动，为鼓励更多的人积极参与到宣传活动中来，宣传活动现场设置了抽奖环节在盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“扫黑除恶利国利民”或“普法宣传人人参与”图案抽奖规则：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张分别是“普法宣传人人参与”和“扫黑除恶利国利民”卡即可获奖，否则，均为不获奖卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行活动开始后，一位参加者问：“盒中有几张“普法宜传人人参与’卡？”主持人答：“我只知道，从盒中抽取两张都是“扫黑除恶利国利民’卡的概率是16”
（1）求抽奖获奖的概率；
（2）为了增加抽奖的趣味性，规定每个抽奖者先从装有9张卡片的盒中随机抽出1张不放回，再用剩下8张卡片按照之前的抽奖规则进行抽奖，现有甲、乙、丙三人依次抽奖，用X表示获奖的人数