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2025届高三年级5月模拟考试
数学参考答案与解析
注意：
答案解法并非唯一解法。在阅卷中评分遵循“踩点给分”原则，强调解题步骤的规范性与逻辑性，即使结果错误，完整呈现关键步骤仍可获得部分分数；对于创新解法，若过程合理且结果正确即可得分。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
A
B
D
C
D
C
D
D
ACD
AD
AD
1．A
【详解】因为,所以,
故选：A.
2．B
【详解】由复数，可得，所以.
故选：B.
3．D
【详解】因为，所以当时，
．
故选：D．
4．C
【详解】解：由题意知本题需要分步计数，
2和4排在末位时，共有种排法，
其余三位数从余下的四个数中任取三个有24种排法，
根据由分步计数原理得到符合题意的偶数共有2×24＝48（个）．
故选：C．
5．D
【详解】由题意得，因此为钝角，
所以.
故选：D.
6．C
【详解】由抛物线的定义知，又，
所以为等边三角形，为准线与轴的交点)，
抛物线的焦点，准线，，
故故.
故选：C
7．D
【详解】设四棱台的高度为，在图1中，中间液面四边形的边长为5，在图2中，中间液面四边形的边长为6，
则，
所以.
故选：D.
8．D
【详解】令f(x)=0，得即
令则(1-e)t-1=0，
令则
令在区间(ln(e-1)，+∞)上单调递增；
令在区间上单调递减，又1，h(0)=h（1）=0，则h(x)=0有且只有两个根，分别为0，1.
当a≥0时，函数f(x)恰有2个零点等价于的图象与直线y=0和y=1共有2个交点.
令p(x)=lnx+ax，则则p(x)在区间(0，+∞)上单调递增，又x→0，p(x)→-∞，x→+∞，p(x)→+∞，即p(x)∈R，则.y=ax+lnx的图象与直线y=0和y=1各有1个交点，符合题意.
当a0时，函数f(x)恰有2个零点，等价于函数y=lnx的图象与直线y=-ax，y=1-ax的图象共有2个交点，临界情况为两条直线分别与y=lnx的图象相切.
如图1，当y=-ax与y=lnx相切，设对应切点为，因为则相应切线方程为
如图2，当y=1-ax与y=lnx相切，设对应切点为，则相应切线方程为则综上
故选：D.
9．ACD
【详解】A选项，
，
所以的图象上最高点和最低点间距离的最小值为，
所以，可得，A对；
B选项，由，则，
又，故，
要想的图象在上单调递增，
需满足，可得，B错；
C选项，由的图象关于轴对称，
所以，可得，
由，故当时，取得最小值，最小值，C对；
D选项，对，恒成立，
即的图象关于对称，
所以，则，故满足要求，
显然存在ω，对，恒成立，D对.
故选：ACD
10．AD
【详解】因为的内切圆与边相切于点，如图，，为另外两个切点，
由切线长定理可知，，，因为在轴上，所以，
所以
，
，，，
双曲线的方程为：，
若，则，所以，故A正确；
对于B，因为的面积，故B错误；
对于C，若，则，，，双曲线的方程为，
直线的方程为，联立，消得，
则，
解得且，故C错误；
对于D，若，则，，，双曲线的方程为，
如图，设两内切圆圆心分别为，，半径分别为，，设、、与圆分别相切于点，，，
由切线长定理得
，
而，两式相加得，所以是双曲线的右顶点，
轴，所以的横坐标为，
同理可求得的横坐标为，则，
设直线的倾斜角为，则，
在，中有
，，
设，所以，
显然，当，即，即取得最小值8，
记的内切圆面积为，的内切圆面积为，
故的内切圆与的内切圆的面积之和的最小值为，故D正确.
故选：BD.
11．AD
【详解】如图，以点为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则有
，
则，，
对于A：
设平面的一个法向量为，则有，
令，则，故
因为，平面，
所以，得，
又因为，所以，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为，故A正确；
对于B：，则，
若平面，则有，即，
解得，故B错误；
对于C：若，则，
则到平面的距离为，故C错误；
对于D：，当，时，，
则
，
当时，，
当时，，
当且仅当时，等号成立，
故，即，故D正确.
故选：AD.
12．
【详解】由只有第5项的二项式系数最大可得：.
∴通项公式，
令，解得.
∴展开式中含项的系数为.
故答案为：.
13．
【详解】由可得，
若，则与矛盾，
所以，
则.
故答案为：.
14．
【详解】由题意，为向右平移得到，即区间长度与原题一致，
不妨设，易得或，
即在和上单调递增，在上单调递减，
由关于对称，仅考虑即可，当分类讨论：
当时，
易得，即；
当时，
；
当时，
如下图，
不妨设的三个跟分别为，
不妨设的三个跟分别为，
由三次韦达定理可得
，
综上，当且仅当时，.
故答案为：.
15．（1）在中，由及正弦定理得
，