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押题考向4.直线与椭圆的定值

【九科星教学网】

已知A,B分别为椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的上、下顶点，短轴长为2，左右焦点为F

(1)求椭圆E的方程；

(2)斜率为正的直线l与椭圆E交于M,N两点，总有F1M、F1N关于直线A

【答案】(1)x

(2)存在Q（-1，?1

【分析】（1）根据短轴长、直线PA,PB的斜率之积求得a,b，从而求得椭圆E的方程.

分析可知，直线F1M、F1N的斜率之积为1，设l的方程为y=kx+m，设点Mx1,y1、Nx2,y2，将该直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，根据kF1MkF1N=1结合韦达定理可得出k

【详解】（1）由题意，2b=2,则b=1,A0,1,B0,?1

kPA=y

即y02?1

所以，椭圆E的方程为x2

（2）由（1）知，F1

直线AF1的方程为y=x+1，直线F1M、

不妨设直线F1M、F1N的倾斜角分别为α、β，α

即β=π

所以，tanβ=

所以，两直线的斜率之积kF

由题意知，直线l的斜率存在且为正数，设直线l:y=kx+m，(k0),设点Mx1,

联立y=kx+mx22

则有Δ=4km

由韦达定理可得x1+x

又kF

整理得k2

即k2

所以，m2?4km+4k

当m=2k+1时，直线l的方程为y=kx

即直线l过定点R?2,1，当k0时

当m=2k?1时，直线l的方程为y=kx

即直线l过定点R?2,?1，当k0时，

若直线F1M垂直于x轴，则直线F1N即为x

则直线l恒过定点R?2

因为OH⊥l，即OH⊥OR，则H在以OR为直径的圆上，圆心为（-1，?12），半径为52，