第3课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式

[考试要求]1.会推导两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式．

1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式

(1)公式C(α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β；

(2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β；

(3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β；

(4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β；

(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)；

(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ).

2．二倍角的正弦、余弦、正切公式

(1)sin2α＝2sinαcosα；

(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；

(3)tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).

[常用结论]

1．两角和与差的公式的常用变形

(1)sinαsinβ＋cos(α＋β)＝cosαcosβ；

(2)cosαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcosβ；

(3)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tanαtanβ)．

2．二倍角余弦公式变形——降幂公式

sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)，cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2).

一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．(√)

(2)在锐角三角形ABC中，sinAsinB和cosAcosB的大小关系不确定．(×)

(3)公式tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanα·tanβ)，且对任意角α，β都成立．(×)

(4)eq\r(3)sinα＋cosα＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3))).(×)

二、教材经典衍生

1．(人教A版必修第一册P218例3改编)若cosα＝－eq\f(4,5)，α是第三象限角，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))等于()

A．－eq\f(\r(2),10) B．eq\f(\r(2),10)

C．－eq\f(7\r(2),10) D．eq\f(7\r(2),10)

C[因为α是第三象限角，

所以sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\f(3,5)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝sinαcoseq\f(π,4)＋cosαsineq\f(π,4)＝－eq\f(3,5)×eq\f(\r(2),2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))×eq\f(\r(2),2)＝－eq\f(7\r(2),10).]

2．(人教A版必修第一册P229习题5.5T6(1)改编)sin20°cos10°－cos160°sin10°＝()

A．－eq\f(\r(3),2) B．eq\f(\r(3),2)

C．－eq\f(1,2) D．eq\f(1,2)

D[sin20°cos10°－cos160°sin10°＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝sin30°＝eq\f(1,2).

故选D.]

3．(多选)(人教A版必修第一册P223练习T5改编)下列各式的值为eq\f(\r(,2),2)的是()

A．sineq\f(π,12)coseq\f(π,12) B．cos2eq\f(π,8)－sin2eq\f(π,8)

C．eq\f(tan\f(π,8),1－tan2\f(π,8)) D．2cos222.5°－1

BD[对于A，sineq\f(π,12)coseq\f(π,12)＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,12)))＝eq\f(1,2)sineq\f(π,6)＝eq\f(1,4)，不符合题意；对于B，cos2eq\f(π,8