第3课时不等式的性质
[考试要求]1.掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质，并能简单应用．
1．比较实数a，b大小的基本事实
作差法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b0?ab，,a－b＝0?a＝b，,a－b0?ab.))
2．不等式的性质
性质1对称性：ab?ba；
性质2传递性：ab，bc?ac；
性质3可加性：ab?a＋cb＋c；
性质4可乘性：ab，c0?acbc；
ab，c0?acbc；
性质5同向可加性：ab，cd?a＋cb＋d；
性质6同向同正可乘性：ab0，cd0?acbd；
性质7同正可乘方性：ab0?anbn(n∈N，n≥2)．
[常用结论]
若ab0，m0，则
(1)真分数性质：eq\f(b－m,a－m)eq\f(b,a)eq\f(b＋m,a＋m)(b－m0)，即真分数越加越大，越减越小；
(2)假分数性质：eq\f(a＋m,b＋m)eq\f(a,b)eq\f(a－m,b－m)(b－m0)，即假分数越加越小，越减越大．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a＞b，则ac2＞bc2.(×)
(2)若eq\f(b,a)1，则ba.(×)
(3)若eq\f(1,a)eq\f(1,b)，则ba.(×)
(4)若ab0，则eq\f(1,a2n)eq\f(1,b2n)(n∈N*).(√)
二、教材经典衍生
1．(人教A版必修第一册P43习题2.1T3改编)设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a
A．M＞N B．M≥N
C．M＜N D．M≤N
A[因为M－N＝2a(a－2)－(a＋1)·(a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2＞0，所以M＞N.故选
2．(人教A版必修第一册P43习题2.1T10改编)已知b克糖水中有a克糖(ba0)，再添加m克水(m0)，糖水甜度变淡了．下面式子可以说明这一事实的是()
A．eq\f(a,b＋m)＜eq\f(a,b) B．eq\f(a,b＋m)＞eq\f(a,b)
C．eq\f(a,b)＜eq\f(a＋m,b＋m) D．eq\f(a＋m,b＋m)＜eq\f(a,b)
A[向糖水溶液中加入m克水，糖水的浓度变为eq\f(a,b＋m)，此时浓度变小，糖水变淡，即eq\f(a,b＋m)＜eq\f(a,b).故选A．]
3．(人教A版必修第一册P42练习T2改编)用不等号“＞”或“＜”填空．
(1)如果a＜b，c＞d，那么a－c＜b－d；
(2)如果a＜b＜0，那么eq\f(1,a2)＜eq\f(1,b2)；
(3)如果c＞a＞b＞0，那么eq\f(a,c－a)eq\f(b,c－b).
4．(人教A版必修第一册P43习题2.1T5改编)已知－1a2，－3b5，则a－b的取值范围是.
(－6,5)[因为－3b5，所以－5－b3，
又－1a2，所以－6a－b5.]
考点一数(式)的大小比较
[典例1](1)若a0，b0，则p＝eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)与q＝a＋b的大小关系为()
A．pq B．p≤q
C．pq D．p≥q
(2)若ab1，P＝aeb，Q＝bea，则P，Q的大小关系是()
A．PQ B．P＝Q
C．PQ D．不能确定
(1)B(2)C[(1)p－q＝eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)－a－b
＝eq\f(b2－a2,a)＋eq\f(a2－b2,b)＝(b2－a2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)－\f(1,b)))
＝eq\f(?b2－a2??b－a?,ab)＝eq\f(?b－a?2?b＋a?,ab)，
因为a0，b0，所以a＋b0，ab0.
又(b－a)2≥0，所以p－q≤0.
综上，p≤q.故选B.
(2)P，Q作商可得eq\f(P,Q)＝eq\f(aeb,bea)＝eq\f(\f(eb,b),\f(ea,a))，令f(x)＝eq\f(ex,x)，
则f′(x)＝eq\f(ex?x－1?,x2)，当x1时，f′(x)0，所以f(x)＝eq\f(ex,x)在(1，＋∞)上单调递增，
因为ab1，所以eq\f(eb,b)eq\f(ea,a)，
又eq\f(eb,b)0，eq\f(ea,a)0，所以eq\f(P,Q)＝eq\f(\f(eb,b),\f(ea,a))1，
所以PQ.故选C．]
比较大小的常用方法
(1)作差法：①作差；②变形(因式分解、配方、有理化等)；③定号；④得出结论．
(2)作商法：①作商；②变形(因式分解、配方、有理化等)