专题8函数的奇偶性对称性周期性
争知识必备
1函数的奇偶性
从代数角度看
一般地，设函数fx的定义域为I，如果?x∈I，都有x∈I，且fx=f
一般地，设函数fx的定义域为I，如果?x∈I，都有x∈I，且fx=
从几何角度看
（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象关于原点对称，反之，如果一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数；
（2）如果一个函数是偶函数，则它的图象关于y轴对称，反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.
注意：
①既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即fx=0，x∈D，其中定义域
②若函数fx是奇函数且0在定义域中，那么f
③奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.
奇偶性的运算
设函数fx，gx
f
g
f
f
f
f
f
偶
偶
偶
偶
偶
偶
偶
偶
奇
不确定
奇
奇
偶
奇
偶
奇
奇
偶
奇
奇
奇
奇
偶
偶
奇
特别地：奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数.
2函数的对称性
设函数fx的定义域为D
如果常数a，b∈R，对于定义域D内的任意一个自变量x，均有fa
25专遍8函数的奇偶性对称性周期性
fx为轴对称函数，x=ab2为其对称轴特别地，当a=0，b=0时，函数fx关于
如果常数a，b，m∈R，对于定义域D内的任意一个自变量x，均有fax=mfbx，则称函数fx为中心对称函数，ab2
3函数的周期性
设函数fx的定义域为D
如果存在非零实常数T∈R，对于定义域D内的任意一个自变量x，均有fxT=fx，则称函数fx
若函数fx的周期中存在一个最小的正周期，则称f
不特殊说明，一般我们说的周期指的是最小正周期.
关于周期的结论
（1）若fxaf
（2）若fxa?f
（3）若fxa=
（4）若fxa=
（5）若fxa=
（6）若fxa=
（7）若fxa=
（8）若fx关于x=a，x=b对称，则函数的周期为T=2
（9）若fx关于a，m，b，m
（10）若fx关于x=a，b，m对称，则函数的周期为
典型例题
考点一奇偶性的判断
【例题1】函数fx
Ax轴对称 By轴对称
C原点对称 D直线x=1对称
【例题2】已知函数fx=ax
A奇函数 B偶函数
C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数
【例题3】判定下列函数的奇偶性：
（1）fx
（2）fx
考点二奇偶性的应用
①已知奇偶性求参数、求函数值
【例题4】若函数fx=2x
A?1 B1
C12 D12
【例题5】（1）已知fx=ax2bx
A13 B13
C12 D12
（2）已知函数y=2x
【例题6】设fx是定义在R上的奇函数，当x≤0时，fx
A3 B1
C1 D3
②利用奇偶性求解析式
【例题7】fx是偶函数，在[0，∞）上，fx=
【例题8】若fx为R上的奇函数，当x0时，fx=
③单调性奇偶性综合
【例题9】若偶函数fx在（∞，
Af32f1f
Cf2f1f3
【例题10】设定义在R上的奇函数fx满足，对任意x1，x2∈0，∞，且
A（∞，2]?（0，2] B2，0
C∞，2]?[2，∞ D2，0）?（0，2
【例题11】（1）设fx是R上的偶函数，且在0，∞上是减函数，若x10
Afx1fx2
Cfx1fx2 Df
（2）已知定义在R上的奇函数fx是一个减函数，且x1x
A大于0 B小于0
C等于0 D以上均有可能
④与抽象函数综合
【例题12】已知fx对任意实数x，y恒有fxy=f
Af0=0 Bfx
Cfx为R上减函数 Dfx为R上增函数
【例题13】定义在R上的函数fx满足f
①f2
②设gx
③设hx
④若x∈N?，则
其中正确命题有________（填所有正确命题序号）
考点三周期性的应用
【例题14】已知y=fx是定义在R上的函数，且fx4=fx
A27 B27
C9 D9
【例题15】定义在R上的函数fx满足fx6=fx，当3≤x≤1时，fx
A35 B36
C211 D985
【例题16】已知函数fx是定义在R上的奇函数，且满足fx2=fx，当0≤x≤1时，
A2nn∈Z B2n1
C4n1n∈Z D4n
【例题17】定义在R上的函数fx满足fx2=1f
【例题18】设函数Dx=1，x
①Dx值域为0，1；②Dx是周期函数；③Dx是单调函数；④
【例题19】已知函数fx是定义在R上的奇函数，且周期为2，当x∈（0，1]时，fx=x
考点四对称性的应用
【例题20】定义在R上的函数fx满足f1x=f1x，又g1
例贾21.
函数fx为定义在R上的奇函数，且满足fx=f2
【例题22】已知fx1=fx1，fx=fx
A111 B201
C211 D985